XGBoost原理和公式推导_xgbboost模型公式

XGBoost的模型： $$\widehat{y_i}=\sum _{k=1}^K{f}_k(x_i)$$
其中$f_k\in F$，$F=f(x)=w_{q(x)}$，每个 $f_k$ 对应于一个独立的树结构 $q$ 和叶子权重 $w$。$w_i$代表第 $i$ 个结点的分数，$w_{q(x)}$是对样本 $x$ 的打分，即模型预测值。

目标（损失）函数：
$$L=\sum _{i=1}^{n}l(\widehat{y_i},y_i)+\sum _{k=1}^T\Omega (f_k)$$其中，$\Omega (f)=\gamma T+\frac{\lambda }{2}{\Vert w\Vert }^2$，T是树中叶子节点的个数，该项中包含了两个部分，一个是叶子结点的总数，一个是叶子结点得到的 $L_2$ 正则化项。这个额外的正则化项能够平滑每个叶节点的学习权重来避免过拟合。目标函数中前一项为损失函数，后一项为正则化项，表示所有树的复杂度之和。

类似于GBDT算法，XGBoost同样使用加法模型，第 $t$ 步的预测值为：$${\hat{y}}_i^{(t)}={\hat{y}}_i^{(t-1)}+f_t(x_i)$$
第 $t$步的损失为：
$$L^{(t)}=\sum _{i=1}^{n}l(y_i,{\hat{y}}_i^{(t-1)}+f_t(x_i))+\Omega (f_t)$$
对损失函数使用二阶泰勒近似展开，类似于：
$$f(x+\Delta x)\simeq f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x+f^{\prime \prime }(x)\Delta x^2$$
损失函数变换为：
$$L^{(t)}\simeq \sum _{i=1}^n[l(y_i,{\hat{y}}_i^{(t-1)})+g_i{f}_t(x_i)+\frac{1}{2}{h}_i{f}_t^2(x_i)]+\Omega (f_t)$$
其中，$g_i={\partial }_{{\hat{y}}^{(t-1)}}l(y_i,{\hat{y}}^{(t-1)}),h_i={\partial }_{{\hat{y}}^{(t-1)}}^{2}l(y_i,{\hat{y}}^{(t-1)})$。

移除常数项：
$${\hat{L}}^{(t)}=\sum _{i=1}^n(g_i{f}_t(x_i)+\frac{1}{2}{h}_i{f}_t^2(x_i))+\Omega (f_t)$$

定义 I j = { i ∣ q ( x i ) = j } I_j=\left \{ i|q(x_i) =j\right \} Ij​={i∣q(xi​)=j} 表示叶子节点$j$中的样本集合。
$${\hat{L}}^{(t)}=\sum _{j=1}^T[(\sum _{i\in I_j}{g}_i)w_j+\frac{1}{2}(\sum _{i\in I_j}{h}_i+\lambda )w_j^2]+\gamma T$$
对 $w$求导得叶子节点 $j$ 最优 $w_j^{\ast }$：
$$\sum _{i\in I_j}{g}_i+w_j(\sum _{i\in I_j}{h}_i+\lambda )=0$$
$$w_j^{\ast }=-\frac{{\sum }_{i\in I_j}{g}_i}{{\sum }_{i\in I_j}{h}_i+\lambda }$$
带入目标函数求得损失的最优值：
$${\hat{L}}^t(q)=-\frac{1}{2}\sum _{j=1}^T\frac{({\sum }_{i\in I_j}{g}_i{)}^2}{{\sum }_{i\in I_j}{h}_i+\lambda }+\gamma T$$
划分节点后的损失减少为：
$$L_{split}=\frac{1}{2}(\frac{({\sum }_{i\in I_L}{g}_i{)}^2}{{\sum }_{i\in I_L}{h}_i+\lambda }+\frac{({\sum }_{i\in I_R}{g}_i{)}^2}{{\sum }_{i\in I_R}{h}_i+\lambda }-\frac{({\sum }_{i\in I}{g}_i{)}^2}{{\sum }_{i\in I}{h}_i+\lambda })$$
其中，$I=I_l+I_R$。

论文原文：
Chen, T., & Guestrin, C. (2016, August). Xgboost: A scalable tree boosting system. In Proceedings of the 22nd acm sigkdd international conference on knowledge discovery and data mining (pp. 785-794).