Maximum Clique最大团问题_antmcp

Maximum Clique最大团问题

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List

Knowledge-MaxClique

这段大部分转自JMJST，后面有链接

a.定义

一个无向图 G=(V，E)，V 是点集，E 是边集。取 V 的一个子集 U，若对于 U 中任意两个点 u 和 v，有边 (u,v)∈E，那么称 U 是 G 的一个完全子图。 U 是一个团当且仅当 U 不被包含在一个更大的完全子图中。G的最大团指的是定点数最多的一个团。

b.常用做法

1、顺序贪婪启发式搜索算法
2、局部搜索启发式算法
3、智能搜索启发式算法
4、遗传算法
5、模拟退火算法
6、禁忌算法
7、神经网络算法
8、改进蚁群算法-AntMCP
突然发现自己是多弱，所以问度娘吧百度百科传送门：最大团问题

c.Search

咱不会那么多高大上的东西那就暴力吧！（n<=100可以过）

c-1.Normal

看显而易见的DFS

初始化：
　　　　　　从一个点 u 开始，把这个点加入到一个集合中，设为 U。遍历一遍所有和他相连的点，把他们放入另一个集合 S1 中，接下来进行第一遍 DFS

　　　　第一遍 DFS ：
　　　　　　从 S1 中选择一个点 u1，这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连。把集合 S1 中 u1 能访问到的点加入到集合 S2 中，并把 u1 加入到集合 U 中，进行第二遍 DFS
　　　　第二遍 DFS ：
　　　　　　从 S2 中选择一个点 u2，这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连。把集合 S2 中 u2 能访问到的点加入到集合 S3 中，并把 u2 加入到集合 U 中，进行第三遍 DFS
　　　　第三遍 DFS ：
　　　　　　从 S3 中选择一个点 u3，这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连。把集合 S3 中 u3 能访问到的点加入到集合 S4 中，并把 u3 加入到集合 U 中，进行第四遍 DFS
　　　　……
　　　　最底层的 DFS ：
　　　　　　当某个 S 集合为空集的时候，DFS 结束，这时候我们就找到了一个完全子图，用这个完全子图更新我们的最大团。退出当前的 DFS，返回上层 DFS，接着找下一个完全子图，直到找完所有的完全子图

c-2.Change order

按照上面介绍的 DFS 方法，肯定能够得到一个最大团，因为该 DFS 把所有的完全子图都枚举了一遍。但是这样做的时间复杂度是不是太高了？于是产生了下面的 DFS 过程，大致上和上面的 DFS 一样，只不过有一些地方不太一样了。
首先，我们先得到后几个点组成的最大团到底是多大，（最开始的时候肯定是最后一个点单独构成一个最大团，点数为1）然后我们再 DFS：

初始化：
　　　　　　从一个点 u 开始，把这个点加入集合 U 中。将编号比它大的且和它相连的点加入集合 S1 中，为了方便，将集合 S1 中的点有序，让他们从小到大排列，进行第一遍 DFS
　　　　第一遍 DFS ：
　　　　　　从 S1 中选择一个点 u1，遍历 S1 中，所有编号比 u1 大且和 u1 相连的点，其实也就是排在 u1 后面，并且和 u1 相连的点，将它们加入集合 S2 中。同理，让 S2 中的点也按照编号也从小到大排列。将 u1 加入集合 U 中，进行第二遍 DFS
　　　　第二遍 DFS ：
　　　　　　从 S2 中选择一个点 u2，遍历 S2 中，所有排在 u2 后面且和 u2 相连的点，并把它们加入集合 S3 中，让 S3 中的点按照编号从小到大排列，将 u2 加入集合 U 中进行第三遍 DFS
　　　　第三遍 DFS ：
　　　　　　从 S3 中选择一个点 u3，遍历 S3 中，所有排在 u3 后面且和 u3 相连的点，并把它们加入集合 S4 中，让 S4 中的点按照编号从小到大排列，将 u3 加入集合 U 中进行第四遍 DFS
　　　　……
　　　　最底层的 DFS ：
　　　　　　当某个 S 集合为空时，DFS 过程结束，得到一个只用后面几个点构成的完全子图，并用它去更新只用后面几个点构成的最大团。退出当前 DFS，返回上层 DFS，接着找下一个完全子图，直到找完所有的完全子图

对于这里的对于当前的点只能比它大的点连可以这样来想，如果之前有个点也可以入团，那么再搜到它时就会进行搜索，与之后的成团，就没有必要在后面再往前搜。

c-3.Prune

先把剪枝看完在分析
1. 如果 U 集合中的点的数量+1（选择 ui 加入 U 集合中）+Si 中所有 ui 后面的点的数量 ≤ 当前最优值，不用再 DFS 了
2. 如果 U 集合中的点的数量+1（理由同上）+[ui, n]这个区间中能构成的最大团的顶点数量 ≤ 当前最优值，不用再 DFS了
3. 如果 DFS 到最底层，我们能够更新答案，不用再 DFS 了，结束整个 DFS 过程，也不再返回上一层继续 DFS 了

c-4.Analysis

My comprehension:
1.第一个剪枝，这是一个显然的可行性剪枝，如果后面可加入的点就算全入团都小于当前最优解，当然就没必要再搜索下去。
2.第二个剪枝，与第一个类似，记录之后可以形成的最大团。
3.证明：第一次搜索出来的结果>=当前ans+1（准确应该=ans+1），而不会在有更优的情况，如果有那么当前ans求出来就是个错的，它一定会要大一点。（也可以这么想，每次最多加入一个点，如果加入两个点，那么置后的那个点在之前会更新一次答案）

c-5.Finished

模板-板子

struct MAX_CLIQUE{
    static const int N=60;
    bool G[N][N];
    int n,Max[N],Alt[N][N],ans;
    bool DFS(int cur,int tot){
        if(!cur){
            if(tot>ans){ans=tot;return 1;}
            return 0;
        }
        for(int i=1;i<=cur;i++){
            if(cur-i+tot+1<=ans)return 0;
            int u=Alt[tot][i],nxt=0;
            if(Max[u]+tot<=ans)return 0;
            for(int j=i+1;j<=cur;j++)
                if(G[u][Alt[tot][j]])Alt[tot+1][++nxt]=Alt[tot][j];
            if(DFS(nxt,tot+1))return 1;
        }
        return 0;
    }
    int MaxClique(){
        ans=0,memset(Max,0,sizeof(Max));
        for(int i=n;i;i--){
            int cur=0;
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                if(G[i][j])Alt[1][++cur]=j;
            DFS(cur,1);
            Max[i]=ans;
        }
        return ans;
    }
}Group;
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Practice

HDU1530 Maximum Clique&ZOJ 1492 Maximum Clique

参考资料

• 最大团问题
  http://www.cnblogs.com/zhj5chengfeng/archive/2013/07/29/3224092.html

感谢

JMJST