数据结构(树)-随笔_在一棵完全二叉树中,具有n个节点的左子树中最大可能的节点个数是

基础概念

树

存储的是具有“一对多”关系的数据元素的集合

树的深度（高度）

从一棵树的树根开始，树根所在层为第一层，根的孩子结点所在的层为第二层，依次类推, 一棵树的深度（高度）是树中结点所在的最大的层次

兄弟节点

都有相同的父结点的子结点

阶

整棵树, 子节点最多的个数是m，那么这棵树就是m阶树。

二叉树

满足以下两个条件的树:

1. 本身是有序树；
2. 树中包含的各个节点的度不能超过 2，即只能是 0、1 或者 2；

   拥有的子树数（结点有多少分支）称为结点的度（Degree）

二叉树的性质:

1. 二叉树中，第 n 层最多有 2ⁿ-1 个结点。
2. 如果二叉树的深度为 n，那么此二叉树最多有 2ⁿ-1 个结点。
3. 二叉树中，终端结点数（叶子结点数）为 n₀，度为 2 的结点数为 n₂，则 n₀=n₂+1。

满二叉树

如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树

满二叉树的性质:

1. 满二叉树中第 n 层的节点数为 2ⁿ-1 个。
2. 深度为 n 的满二叉树必有 2ⁿ-1 个节点 ，叶子数为 2ⁿ-1。
3. 满二叉树中不存在度为 1 的节点，每一个分支点中都两棵深度相同的子树，且叶子节点都在最底层。
4. 具有 n 个节点的满二叉树的深度为 log₂(n+1)

完全二叉树

如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。

二叉排序树 / 二叉查找树

二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree）
一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树
（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值；
（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

B树

B-tree (中间的短线是英文连接符), 全称Balance-tree(平衡多路查找树)

一颗m阶B树，或为空树，或为满足下列特性的m叉树。

1. 树中每个结点最多含有m棵子树;

2. 若根结点不是叶子结点，则至少有两颗子树;

3. 除根结点之外的所有非叶子结点至少有p个子节点（⌈m/2⌉ ≤ p ≤ m, ⌈m/2⌉为向上取整, 也可以用 ceil(m/2) 表示）;

4. 所有的非叶子结点中包含以下数据：（$n$，$A$₀，$K$₁，$A$₁，$K$₂，…，$K$_n，$A$_n）

   1. ⌈m/2⌉ ≤ n ≤ m
   2. K_i（1≤i≤n）为关键字，且关键字按升序排序
   3. A_i为 指向子树的指针, 且A_i-1指向的子树中所有结点的关键码均小于K_i, A_n指向的子树中所有节点结点的关键码均大于K_i ( 即：每个数据K_i两旁的指针，左边指针的结点的关键码均小于K_i, 右边指针的结点的关键码均大于K_i)

5. 所有的叶子结点都出现在同一层次上，即所有叶节点具有相同的深度，等于树高度。并且不带信息（可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）, 如下图所示

   

type Node struct {
	KeyNum   int 		// 结点关键字个数
	Keys     KeyType    // 关键字数组, Keys[0]不使用
	parent   *Node       // 父结点
	children *Node       // 子结点 
}
1
2
3
4
5
6

B+树

m阶的B+树的特征：

1. 有k个子树的中间节点包含有k个元素（B树中是k-1个元素），每个元素不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。

   

2. 所有的叶子结点中包含了全部元素的信息，及指向含这些元素记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

   

3. 所有的中间节点元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素

   

B树和B+树的区别

1. B+树的非叶子节点不保存关键字记录的指针，只进行数据索引，这样使得B+树每个非叶子节点所能保存的关键字大大增加；
   
2. b+树查询必须查找到叶子节点，b树只要匹配到即可不用管元素位置，因此b+树查找更稳定

B+树的优势

1. 层级更少: 相较于B树B+每个非叶子节点存储的关键字数更多，树的层级更少所以查询数据更快；
2. 查询速度更稳定: B+所有关键字数据地址都存在叶子节点上，所以每次查找的次数都相同所以查询速度要比B树更稳定;
3. 排序功能: B+树所有的叶子节点数据构成了一个有序链表，在查询大小区间的数据时候更方便，数据紧密性很高，缓存的命中率也会比B树高。
4. 全节点遍历更快: B+树遍历整棵树只需要遍历所有的叶子节点即可，而不需要像B树一样需要对每一层进行遍历，这有利于数据库做全表扫描。
5. IO次数更少: 单一节点存储更多的元素，使得查询的IO次数更少

二叉树的遍历

先序遍历

遍历原则

根-左-右

1. 访问根节点
2. 访问当前节点的左子树
3. 若当前节点无左子树，则访问当前节点的右子树

遍历结果&解析

结果:
1 2 4 5 3 6 7

解析:

1. 访问根节点，找到 节点 $1$
2. 访问节点 1 的左子树，找到节点 $2$
3. 访问节点 2 的左子树，找到节点 $4$
4. 访问节点 4 左子树失败 => 访问节点 4 右子树失败 => 以节点 4 为根节点的子树 遍历完成。回到以节点 2为根节点的子树, 还没遍历其右子树，开始遍历，找到节点 $5$
5. 访问节点 5 左子树失败 => 访问节点 5 右子树失败 => 以节点 5 为根节点的子树 遍历完成 => 以节点 2 为根节点的子树也遍历完成。回到以节点 1 为根节点的子树，并遍历其右子树，找到节点 $3$
6. 访问节点 3 左子树，找到节点 $6$
7. 访问节点 6 左子树失败 => 访问节点 6 右子树失败 => 以节点 6 为根节点的子树 遍历完成。以节点 3为根节点的子树 还没有遍历其右子树，因此现在开始遍历，找到节点 $7$
8. 访问节点 7 左子树失败 => 访问节点 7 右子树失败 => 以节点 7 为根节点的子树 遍历完成 => 遍历完成因此以节点 3 为根节点的子树遍历完成，同时回归节点 1。由于节点 1 的左右子树全部遍历完成，因此整个二叉树$遍历完成$

中序遍历

遍历原则

左-根-右

1. 访问当前节点的左子树
2. 访问根节点
3. 访问当前节点的右子树

遍历结果&解析

结果:
4 2 5 1 6 3 7

解析:

1. 访问根节点，找到节点 $1$
2. 遍历节点 1 的左子树，找到节点 $2$
3. 遍历节点 2 的左子树，找到节点 $4$
4. 节点 4 无左孩子，因此找到节点 $4$，并遍历节点 4 的右子树
5. 节点 4 无右子树，因此节点 2 的左子树遍历完成，访问节点 $2$
6. 遍历节点 2 的右子树，找到节点 $5$
7. 节点 5 无左子树，因此访问节点 $5$ ，又因为节点 5 没有右子树，因此节点 1 的左子树遍历完成，访问节点 $1$，并遍历节点 1 的右子树，找到节点 $3$
8. 遍历节点 3 的左子树，找到节点 $6$
9. 节点 6 无左子树，因此访问节点 $6$，又因为该节点无右子树，因此节点 3 的左子树遍历完成，开始访问节点 $3$，并遍历节点 3 的右子树，找到节点 $7$
10. 节点 7 无左子树，因此访问节点 $7$，又因为该节点无右子树，因此节点 1 的右子树遍历完成，即$遍历完成$

后序遍历

遍历原则

左-右-根

1. 遍历当前节点的左子树
2. 遍历当前节点的右子树
3. 访问根节点

遍历结果&解析

结果:
4 5 2 6 7 3 1

解析:

1. 从根节点 1 开始，遍历该节点的左子树（以节点 2 为根节点）
2. 遍历节点 2 的左子树（以节点 4 为根节点）
3. 节点 4 无左右子树，访问节点 $4$，回到节点 2 ，遍历节点 2 的右子树（以 5 为根节点）；
4. 节点 5 无左右子树，访问节点 $5$ ，节点 2 的左右子树也遍历完成，访问节点 $2$
5. 回到节点 1 ，开始遍历节点 1 的右子树（以节点 3 为根节点）
6. 遍历节点 3 的左子树（以节点 6 为根节点）
7. 节点 6 无左右子树，访问节点 $6$，回节点 3，开始遍历节点 3 的右子树（以节点 7 为根节点）
8. 节点 7 无左右子树，访问节点 $7$，节点 3 的左右子树遍历完成，访问节点 $3$；节点 1 的左右子树遍历完成，访问节点 $1$, $遍历完成$

层次遍历

遍历原则

按照二叉树中的层次从左到右依次遍历每层中的结点。
实现思路是:
通过使用队列的数据结构，从树的根结点开始，依次将其左孩子和右孩子入队。
而后每次队列中一个结点出队，都将其左孩子和右孩子入队，直到树中所有结点都出队，出队结点的先后顺序就是层次遍历的最终结果。

遍历结果&解析

结果:
1 2 3 4 5 6 7

解析:

1. 根结点 1 入队

   队列内容: 1

2. 根结点 $1$ 出队，出队的同时，将左孩子 2 和右孩子 3 分别入队

   队列内容: 2 3

3. 队头结点 $2$ 出队，出队的同时，将结点 2 的左孩子 4 和右孩子 5 依次入队

   队列内容: 3 4 5

4. 队头结点 $3$ 出队，出队的同时，将结点 3 的左孩子 6 和右孩子 7 依次入队

   队列内容: 4 5 6 7

5. 不断地循环，直至队列内为空。

相关文档

漫画：什么是B+树？