代码随想录day50|动态规划 123.买卖股票的最佳时机III、188.买卖股票的最佳时机IV

题目：123.买卖股票的最佳时机III

题目链接：123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣（Leetcode）

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5] 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1] 输出：0

提示：
1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 105

思路：最多两笔交易，意思是可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖

1.dp数组的含义

总共有四个状态：

• 没有操作 dp[i][0]

• 第一次持有股票 dp[i][1]

• 第一次不持有股票 dp[i][2]

• 第二次持有股票 dp[i][3]

• 第二次不持有股票dp[i][4]

2.递推公式

dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]);
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

3.dp数组初始化

dp[0][0]=0;
dp[0][1]=-prices[0];
dp[0][2]=0;
dp[0][3]=-prices[0];
dp[0][4]=0;

4.遍历顺序

从前往后

5.举例推导dp数组

// 版本一
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.size() == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(5, 0));
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.size() - 1][4];
    }
};
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n × 5)

题目：188.买卖股票的最佳时机IV

题目链接：188. 买卖股票的最佳时机 IV - 力扣（Leetcode）

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1] 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3] 输出：7 解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。 随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示：
0 <= k <= 100
0 <= prices.length <= 1000
0 <= prices[i] <= 1000

思路：最多k次交易

和123.买卖股票的最佳时机类似。

将状态分为奇偶

奇状态的递推公式为

 if(j%2==1) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]-prices[i]);

偶状态的递推公式为

if(j%2==0) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+prices[i]);

dp数组的初始化

奇状态的初始化：

if(i%2==1)dp[0][i]=-prices[0];

偶状态的初始化：

if(i%2==0)dp[0][i]=0;

具体代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        if(k==0)return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(2*k+1));
        dp[0][0]=0;
        for(int i=1;i<2*k+1;i++){
            if(i%2==1)dp[0][i]=-prices[0];
            if(i%2==0)dp[0][i]=0;
        }
        for(int i=1;i<prices.size();i++){
            for(int j=1;j<2*k+1;j++){
                if(j%2==1) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]-prices[i]);
                if(j%2==0) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+prices[i]);
            }
        }
        //  for(int i=1;i<prices.size();i++){
        //     for(int j=1;j<2*k+1;j++){
        //         cout<<dp[i][j]<<" ";
        //     }
        //     cout<<endl;
        // }
        return dp[prices.size()-1][2*k];
    }
};