二叉查找树（Binary Search Tree）结构与算法解析_二叉查找树相比于其他数据结构

0 二叉查找树

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为O(Log n)。二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如集合、多重集、关联数组等。

1 二叉查找树的特点

是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
• 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
• 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；

每次插入的新的结点都是二叉查找树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索、插入、删除的复杂度等于树高，期望O(log n)，最坏O(n)（数列有序，树退化成线性表）。

虽然二叉查找树的最坏效率是O(n)，但它支持动态查询，且有很多改进版的二叉查找树可以使树高为O(log n)，从而将最坏效率降至O(log n)，如AVL树、红黑树等。

2 二叉查找树的相关方法

2.1 查找方法

在二叉查找树b中查找x的过程为：

• 若b是空树，则搜索失败，否则：
• 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；否则：
• 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树；否则：
  查找右子树。

2.2 插入方法

向一个二叉查找树b中插入一个节点s的算法，过程为：

• 若b是空树，则将s所指节点作为根节点插入，否则：
• 若s->data等于b的根节点的数据域之值，则返回，否则：
• 若s->data小于b的根节点的数据域之值，则把s所指节点插入到左子树中，否则：
  把s所指节点插入到右子树中。（新插入节点总是叶子节点）

2.3 删除方法

在二叉查找树删去一个结点，分三种情况讨论：

• 若*p结点为叶子结点，即PL（左子树）和PR（右子树）均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
• 若p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点f的左子树（当p是左子树）或右子树（当p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉查找树的特性。
• 若p结点的左子树和右子树均不空。在删去p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令p的左子树为f的左/右（依p是f的左子树还是右子树而定）子树，s为p左子树的最右下的结点，而p的右子树为s的右子树；其二是令p的直接前驱（in-order predecessor）或直接后继（in-order successor）替代p，然后再从二叉查找树中删去它的直接前驱（或直接后继）。

3 二叉查找树性能的优化

一般的二叉查找树的查询复杂度取决于目标结点到树根的距离（即深度），因此当结点的深度普遍较大时，查询的均摊复杂度会上升。为了实现更高效的查询，产生了平衡树。在这里，平衡指所有叶子的深度趋于平衡，更广义的是指在树上所有可能查找的均摊复杂度偏低。