每日OJ题_子序列dp⑧_力扣446. 等差数列划分 II - 子序列

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力扣446. 等差数列划分 II - 子序列

解析代码

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力扣446. 等差数列划分 II - 子序列

446. 等差数列划分 II - 子序列

难度 困难

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中所有 等差子序列 的数目。

如果一个序列中 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该序列为等差序列。

• 例如，[1, 3, 5, 7, 9]、[7, 7, 7, 7] 和 [3, -1, -5, -9] 都是等差序列。
• 再例如，[1, 1, 2, 5, 7] 不是等差序列。

数组中的子序列是从数组中删除一些元素（也可能不删除）得到的一个序列。

• 例如，[2,5,10] 是 [1,2,1,2,4,1,5,10] 的一个子序列。

题目数据保证答案是一个 32-bit 整数。

示例 1：

输入：nums = [2,4,6,8,10]
输出：7
解释：所有的等差子序列为：
[2,4,6]
[4,6,8]
[6,8,10]
[2,4,6,8]
[4,6,8,10]
[2,4,6,8,10]
[2,6,10]

示例 2：

输入：nums = [7,7,7,7,7]
输出：16
解释：数组中的任意子序列都是等差子序列。

提示：

• 1  <= nums.length <= 1000
• -2^31 <= nums[i] <= 2^31 - 1

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {
 
    }
};

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解析代码

和力扣873. 最长的斐波那契子序列的长度、力扣1027. 最长等差数列类似，动态规划解法思路：

状态表示：以某个位置为结尾，结合题目要求，先定义一个状态表示：

dp[i] 表示：以 i 位置元素为结尾的所有子序列中，等差数列的个数。

        但是这里有⼀个非常致命的问题，那就是我们无法确定 i 结尾的斐波那契序列的样子。这样就会导致我们无法推导状态转移方程，因此我们定义的状态表示需要能够确定一个等差数列

        根据等差数列的特性，我们仅需知道序列里面的最后两个元素，就可以确定这个序列的样子。因此，修改状态表示为：

dp[i][j] 表示：以 i 位置以及 j 位置的元素为结尾的所有的子序列中，等差数列的个数。规定一下 i < j 。

状态转移方程：

设 nums[i] = b, nums[j] = c ，那么这个序列的前一个元素就是 a = 2 * b - c。根据 a 的情况讨论：

• a 存在，下标为 k ，并且 a < b ：此时我们需要以 k 位置以及 i 位置元素为结尾的等差数列的长度，然后再加上 j 位置的元素（+1）即可。于是 dp[i][j] =dp[k][i] + 1 ; 因为 a 可能有很多个，我们需要全部累加起来。p[i][j] +=dp[k][i] + 1 ;
• a 存在，但是 b < a < c ：dp[i][j] =0 ;
• a 不存在： dp[i][j] = 0 ;

综上，状态转移方程分情况讨论即可。

        优化点：我们发现，在状态转移方程中，我们需要确定 a 元素的下标。因此我们可以在 dp 之前，将所有的元素和下标数组绑定在⼀起，放到哈希表中。这里为什么保存下标数组，是因为要统计个数，所有的下标都需要统计。

        初始化：可以将表里面的值都初始化为 0 。

        填表顺序：先固定斐波那契子序列的最后一个数，然后枚举倒数第二个数。

        返回值：返回 dp 表中的所有值的和。

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), ret = 0;
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
        // dp[i][j] 表示：以 i 位置以及 j 位置的元素为结尾的所有的子序列中，等差数列的个数。i < j 
        unordered_map<long long, vector<int>> hash(n);
        for(int i = 0; i < n; ++i)
        {
            hash[nums[i]].push_back(i);
        }
        for(int j  = 2; j < n; ++j) // 固定倒数第一个数
        {
            for(int i = 1; i < j; ++i) // 先固定倒数第二个数
            {
                long long a = (long long)2 * nums[i] - nums[j]; // 防溢出
                if(hash.count(a))
                {
                    for(auto& k : hash[a])
                    {
                        if(k < i)
                            dp[i][j] += dp[k][i] + 1;
                        else
                            break;
                    }
                }
                ret += dp[i][j];
            }
        }
        return ret;
    }
};