打表出奇迹！表打出来发现了神奇的规律：
1 1 2 2 3 4 4 4 5 6 6 7 8 8 8 8 9 10 10 11 12 12 12 13 14 14 15 16 16 16 16 16...
嗯嗯嗯？没有规律？我们把每个数出现的次数列出来：
2 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 5
然后惊觉表中的数字是连续的，每个都至少有一个，而分解因数中有只要2的幂，有一个就会加一，比如8是2、4、8的倍数，在1的基础上会多三个。（1和2除外）
所以对于一个位置$x$，我们可以二分出它的值前面那个值，check的时候计算二分的值总共占了多少位置即可。而求和时又发现，基数是一段连续的等差数列，之后每次都是累加2的幂的等差数列。把前面的值计算完后，把$x$代表的值的个数加起来即可。这样就可以用前缀和相减得出答案了。
注意取模的位置，好事多模！
#include<iostream> #include<cstdio> #define LL long long #define mod 1000000007 using namespace std; LL vi = 500000004; LL count ( LL mid ) { LL k = 1, num = 0; while ( k <= mid ) { num += mid / k; if ( num > 1e18 ) break; k *= 2; } return num + 1;//2个1 } LL work ( LL x ) { if ( x == 0 ) return 0; if ( x == 1 ) return 1; if ( x == 2 ) return 2; LL l = 1, r = x, pos, sum; while ( l <= r ) { LL mid = ( l + r ) >> 1; LL tmp = count ( mid ); if ( tmp < x ) l = mid + 1, pos = mid, sum = tmp; else r = mid - 1; } LL ans = 1, k = 1; while ( k <= pos ) { ans = ( ans + ( k + pos / k * k % mod ) % mod * ( pos / k % mod ) % mod * vi % mod ) % mod; k *= 2; } LL res = ( ( ( x - sum ) % mod ) + mod ) % mod; ans = ( ans + res * ( pos + 1 ) % mod ) % mod; return ans; } int main ( ) { freopen ( "me.in", "r", stdin ); freopen ( "me.out", "w", stdout ); LL L, R; cin >> L >> R; cout << ( ( work ( R ) - work ( L - 1 ) ) % mod + mod ) % mod << endl; return 0; }
这个模数真是...看到觉得是$FFT$凉了啊...
结果就是个二维DP！而且题目上$x$给的虽然是10000，但是$n$是80，实际的$x$想上300都难！
定义$dp[i][k]$表示当前从前往后填到了$i$，我们只当当前区间长度是$i$。$k$表示当前贡献。枚举填$i$的位置$j$由于$1-j-1$已经统计出方案数，而相对大小是不会因为新加的数改变的，前面填的方案数就是$C(i-1,j-1)$。所以枚举前后段的贡献，用乘法原理更新答案即可。
#include<iostream> #include<cstdio> #define LL long long #define MOD 998244353 using namespace std; LL dp[85][10005], M[85], C[85][85]; int n, x; void Work ( ) { for ( int i = 0; i <= n; i ++ ) for ( int j = 0; j <= i; j ++ ) if ( i == j || j == 0 || i == 0 ) C[i][j] = 1; else C[i][j] = ( C[i-1][j-1] + C[i-1][j] ) % MOD; dp[0][0] = dp[1][1] = 1; M[1] = 1; for ( int i = 2; i <= n; i ++ )//从小到大插入数 for ( int j = 1; j <= i; j ++ ) {//枚举插入位置 （有相对大小即可，不需要准确位置，当前区间长度为i int r = min ( j, i - j + 1 ), tmp = C[i-1][j-1];//r是当前插入的数提供的贡献 M[i] = max ( M[i], M[j-1] + M[i-j] + r );//i个数放入达到的最大贡献 for ( int k1 = j-1; k1 <= M[j-1]; k1 ++ ) for ( int k2 = i-j; k2 <= M[i-j]; k2 ++ ) dp[i][r+k1+k2] = ( dp[i][r+k1+k2] + dp[j-1][k1] * dp[i-j][k2] % MOD * tmp % MOD ) % MOD; } if ( n > x || x > M[n] ) printf ( "0" ); else printf ( "%I64d", dp[n][x] ); } int main ( ) { freopen ( "good.in", "r", stdin ); freopen ( "good.out", "w", stdout ); scanf ( "%d%d", &n, &x ); Work ( ); return 0; }
题目改成了可不可以达到，输出1和-1。
很容易想到和背包有关。可是$x$的数据范围？？
但是看到$A$的范围？？可以想到恰好装满$x$实际上可以转换为用$A_2-A_n$装满$x%A_1$（装的过程也对$A_1$取模），所以空间一下子就压到了$1e5$叻！
可是还有一种情况：比如$A$是4、6、8，$x$是2，按照刚才的算法这样也是算可以，把6单独拿出来%4就是2。这意味着我们必须要判断背包过程中达到$x%A_1$可行的最小方案必须要小于等于$x$。所以可以跑$Spfa$边更新可行边记录最小方案。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<queue> #include<cstring> #define RG register #define LL long long using namespace std; int n, Q; LL dis[100005]; int vis[100005], a[100005]; queue < LL > q; void Spfa ( ) { memset ( dis, -1, sizeof ( dis ) ); dis[0] = 0; q.push ( 0 ); vis[0] = 1; while ( !q.empty ( ) ) { LL x = q.front ( ); q.pop ( ); vis[x] = 0; for ( RG int i = 2; i <= n; i ++ ) { LL v = ( x + a[i] ) % a[1]; if ( dis[v] < 0 || dis[v] > dis[x] + a[i] ) { dis[v] = dis[x] + a[i]; if ( !vis[v] ) { vis[v] = 1; q.push ( v ); } } } } } int main ( ) { freopen ( "hungry.in", "r", stdin ); freopen ( "hungry.out", "w", stdout ); scanf ( "%d%d", &n, &Q ); for ( RG int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf ( "%d", &a[i] ); Spfa ( ); while ( Q -- ) { LL x; scanf ( "%I64d", &x ); if ( dis[x % a[1]] < 0 || dis[x % a[1]] > x ) printf ( "-1\n" ); else printf ( "1\n" ); } return 0; }
