shapley值是什么

Shapley值（Shapley Value）是合作博弈论中的一个概念，用于衡量合作博弈中各个参与者对合作所创造的价值的贡献程度。它由经济学家劳埃德·S·沙普利（Lloyd S. Shapley）于1953年提出。

在合作博弈中，参与者通过合作形成联盟，并通过合作产生一定的效益或收益。Shapley值用于确定每个参与者在合作中所做的贡献，并为他们分配合理的收益份额。

Shapley值的核心思想是，一个参与者的贡献应该由他在所有可能的联盟中的边际贡献来衡量。边际贡献是指当一个参与者加入或离开一个联盟时，对整个联盟的价值变化。Shapley值考虑了每个参与者与其他参与者的协作情况，并计算出他们对合作所创造的价值的边际贡献。

计算Shapley值的方法基于排列组合的思想，对所有可能的联盟进行考虑。具体而言，对于每个参与者，将其与其他参与者的顺序排列，并计算在不同的位置加入联盟时的边际贡献。然后，对所有可能的排列进行平均，得到每个参与者的Shapley值。

Shapley值具有一些重要的特性，包括：

1. 额外性（Additivity）：Shapley值满足参与者分解性质，即总体Shapley值等于各个参与者独立时的Shapley值之和。

2. 对称性（Symmetry）：如果两个参与者在合作博弈中的贡献完全相同，那么他们的Shapley值也应该相同。

3. 无偏性（Fairness）：Shapley值是一种公平的分配方法，它将合作所创造的价值按照参与者的贡献进行分配。

Shapley值在合作博弈、合作联盟、资源分配和博弈论中的分配问题中具有广泛的应用。它提供了一种公正而均衡的方式来评估和分配参与者的贡献，并为合作博弈中的决策制定提供了理论基础。

一个例子
让我们通过一个简单的例子来说明Shapley值的计算过程和应用。

假设有三个朋友：Alice、Bob和Charlie，他们一起合作完成了一个项目，获得了一笔报酬。现在我们想计算每个人的Shapley值，以确定他们在这个合作过程中的贡献程度。

为了计算Shapley值，我们考虑所有可能的排列组合，即{Alice, Bob, Charlie}的所有可能顺序。共有6个可能的排列：

1. Alice, Bob, Charlie
2. Alice, Charlie, Bob
3. Bob, Alice, Charlie
4. Bob, Charlie, Alice
5. Charlie, Alice, Bob
6. Charlie, Bob, Alice

对于每个排列，我们计算每个人加入联盟时的边际贡献。假设报酬总额为100，我们可以观察到以下情况：

• 当Alice加入时，联盟的价值变为0（因为Alice是第一个人），因此Alice的边际贡献为0。
• 当Bob加入时，联盟的价值增加了40（因为Alice已经在其中），因此Bob的边际贡献为40。
• 当Charlie加入时，联盟的价值增加了60（因为Alice和Bob已经在其中），因此Charlie的边际贡献为60。

对于每个参与者，我们将所有排列的边际贡献进行平均，得到他们的Shapley值：

• Alice的Shapley值 = (0 + 40 + 40 + 60 + 60 + 100) / 6 = 50
• Bob的Shapley值 = (0 + 0 + 40 + 40 + 100 + 100) / 6 = 46.67
• Charlie的Shapley值 = (0 + 0 + 0 + 60 + 60 + 100) / 6 = 36.67

根据计算结果，Alice的Shapley值最高，说明她在合作过程中的贡献最大。Bob的Shapley值次之，而Charlie的Shapley值最低。

这个例子说明了Shapley值的计算过程和应用。它通过考虑每个参与者加入联盟时的边际贡献，为每个参与者分配了合理的贡献份额。Shapley值提供了一种公平而均衡的方法来衡量和评估参与者在合作博弈中的贡献程度。