图形学初识--矩阵和向量

前言

前面发布的【图形学初识】系列文章，坐标基本上都指代屏幕空间的二维坐标，迟迟没有进入真正的3维世界。为了真正进入三维世界，就需要存在一种工具将三维坐标映射为二维坐标，这个工具就涉及到数学中的线性代数中的一些概念，如：矩阵、向量、行列式等等！本章节就针对这些概念和相关计算做说明！

正文

向量

什么是向量？

概念：向量的相对概念是标量，以下是两者的对比：

向量： 既有大小，又有方向；

标量： 只有大小，没有方向；

举个例子：

向量： 速度、加速度、力等

标量： 颜色、温度、质量等

基本表示： $\vec{a}=\overrightarrow{AB}=B-A$ 。一个不太准确，但又十分形象的图形表示如下图：

$\vec{a}$ 的大小：AB之间的距离

$\vec{a}$ 的方向：A指向B的这个方向

三维空间下，假设$A=(x_0,y_0,z_0)，B=(x_1,y_1,z_1)$，则 $\overrightarrow{AB}=B-A=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$​

本质上，上述的坐标表示法，其实是针对三维空间正交向量基的i、j、k的加权组合，但是因为目前还没有讲向量乘法、向量加法，所以没法解释，可以直观的认为就是这样做！

向量涉及哪些常见计算？

1、取模

假设$A=(x_0,y_0,z_0)，B=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{AB}=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$，记 $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ 是 $\overrightarrow{AB}$ 模，本质就是向量的长度

计算公式如下：
$$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{(x_1-x_0{)}^2+(y_1-y_0{)}^2+(z_1-z_0{)}^2}$$

2、归一化

假设$A=(x_0,y_0,z_0)，B=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{AB}=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$，记$\widehat{AB}$ 是 $\overrightarrow{AB}$ 的归一化向量

归一化本质：计算一个方向不变，长度变为1的对应向量

计算公式如下：
$$\widehat{AB}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\Vert \overrightarrow{AB}\Vert }$$

3、向量加法

假设$\vec{a}=(x_0,y_0,z_0)，\vec{b}=(x_1,y_1,z_1)$ 那么 $\vec{c}=\overrightarrow{a+b}=(x_1+x_0,y_1+y_0,z_1+z_0)$

代数解释：对应坐标相加

几何解释：

（1）两向量移动到统一起点，构成平行四边形，副对角线即为加和结果

（2）把b向量移动到a向量的末尾，从a起点连接b终点，得到的向量即为加和结果

4、向量减法

假设$\vec{a}=(x_0,y_0,z_0)，\vec{b}=(x_1,y_1,z_1)$ 那么 $\vec{c}=\overrightarrow{b-a}=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$

代数解释：对应坐标相减

几何解释：向量a的末端连接向量b末端的一个新向量

5、向量与标量乘

假设$\vec{a}=(x_0,y_0,z_0)$ 那么 $\vec{c}=k\vec{a}=(k{x}_0,k{y}_0,k{z}_0)$

代数解释：对应坐标乘标量k

几何解释：当 $k!=0$，向量等比例调整长度，k为缩放比例

6、向量点乘（内积）

假设$\vec{a}=(x_0,y_0,z_0)，\vec{b}=(x_1,y_1,z_1)$ 那么记点乘 $\vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_0+y_1{y}_0+z_1{z}_0$​​

注意：点乘的结果是一个标量

代数解释：对应坐标相乘然后相加

几何解释：$\hat{a}\cdot \hat{b}=\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert \cos \theta$， 如下图所示

7、向量投影

假设$\vec{a}=(x_0,y_0,z_0)，\vec{b}=(x_1,y_1,z_1)$ 那么记$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影为 $\overrightarrow{a_{prjb}}$​ ，计算公式如下：

a p r j b ⃗ = b ^ ∗ ∥ a ⊥ ⃗ ∥ = b ⃗ ∥ b ⃗ ∥ ∗ cos ⁡ θ ∗ ∥ a ⃗ ∥ = b ⃗ ∥ b ⃗ ∥ ∗ a ⃗ ⋅ b ⃗ ∥ a ⃗ ∥ ∥ b ⃗ ∥ ∗ ∥ a ⃗ ∥ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∥ b ⃗ ∥ 2 b ⃗

$$\begin{align} \vec{a_{prjb}} &= \hat b * \|\vec{a_{\perp}}\|\\ &=\frac{\vec b}{\|\vec b\|} * \cos \theta * \|\vec a\|\\ &=\frac{\vec b}{\|\vec b\|} * \frac{\vec a \cdot \vec b}{\|\vec a\| \|\vec b\|} * \|\vec a\|\\ &=\frac{\vec a \cdot \vec b}{\|\vec b\|^2}\vec b \end{align}$$ aprjb​ ​​=b^∗∥a⊥​ ​∥=∥b ∥b ​∗cosθ∗∥a ∥=∥b ∥b ​∗∥a ∥∥b ∥a ⋅b ​∗∥a ∥=∥b ∥2a ⋅b ​b ​​

假设被投影的向量为单位向量，则结果可以简化：$\overrightarrow{a_{prjb}}=(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{b}$

向量有哪些基本应用？

（1）判断两向量是否同向（重要）

利用向量点乘的结果判断，如果结果为负数，则不是同向，如果结果为正数，则同向。

（2）计算投影

​ 略（上述已给出计算公式）

（3）计算夹角

​ 略（也是利用点乘，计算$\cos \theta$，从而计算出夹角）

矩阵

什么是矩阵？

矩阵本质就是一个二维数组，有行、有列，其中存储许多数字，每个数字叫做矩阵的元素。第i行、j列的记作$a_{ij}$，当行和列相等时，我们叫做方阵！

如下图就是3x3的方阵,，我们常记作矩阵为 $M$ ：
[ 10 12 30 − 1 3 0 2 96 123 ]

$$\begin{bmatrix} 10 & 12 & 30 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 96 & 123\\ \end{bmatrix}$$ ​10−12​12396​300123​ ​

当方阵的只有主对角线元素为1，其余所有元素为0，我们记矩阵为单位矩阵，记$I_n$，如下图：
[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ ​100​010​001​ ​

矩阵涉及哪些常见计算？

1、矩阵加法

前提：两矩阵行列数相同

计算规则：对应元素相加

2、矩阵减法

前提：两矩阵行列数相同

计算规则：对应元素相减

3、矩阵乘法

前提：矩阵 $A$ 左乘矩阵 $B$ ，要求A的列数与B的行数相同

计算规则：假设矩阵 $C$ 的每个元素为 $c_{ij}$ ,矩阵$A$的每个元素为 $a_{ij}$ ,矩阵$B$的每个元素为 $b_{ij}$ ，如果$C=AB$

则$C$的每个元素：
c i j = ( a i 0 a i 1 a i 2 . . . a i n ) ⋅ ( b 0 j b 1 j b 2 j . . . b n j ) c_{ij} =

$$\begin{pmatrix} a_{i0}\\ a_{i1}\\ a_{i2}\\ ...\\ a_{in}\\ \end{pmatrix}$$ \cdot $$\begin{pmatrix} b_{0j}\\ b_{1j}\\ b_{2j}\\ ...\\ b_{nj}\\ \end{pmatrix}$$ cij​= ​ai0​ai1​ai2​...ain​​ ​⋅ ​b0j​b1j​b2j​...bnj​​ ​
给个示例图：

几个常见的乘法性质：

$$\begin{gathered} (AB)C=A(BC) \\ A(B+C)=AB+AC \\ (A+B)C=AC+BC \end{gathered}$$

注意： 矩阵乘法没有交换律，一般来说： $AB!=BA$

4、矩阵和向量乘法

我们可以将向量理解为列或者行为1的矩阵，这样问题就转化为矩阵的乘法类似，不多赘述！

如下图：

矩阵有哪些基本应用？

无所不能，在图形学领域最重要的概念就是MVP变换，本质上就是对应三个矩阵！这方面内容会在后面章节详细讲解哦！大家拭目以待！

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