循环码生成矩阵与监督 (校验) 矩阵_生成多项式怎么变成生成矩阵

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循环码生成多项式与生成矩阵

定义：记 $\mathrm{C}(x)$ 为 (n, k) 循环码的所有码字对应的多项式的集合, 若 g(x) 是 $\mathrm{C}(x)$ 中除 0 多项式以外次数最低的多项式, 则称 g(x) 为这个循环码的生成多项式。

定理1: $(\mathbf{n},\mathbf{k})$ 循环码中, 必定存在一个次数最小的唯一的码多项式g(x) , 称为生成多项式,
$$g(x)=x^r+g_{r-1}{x}^{r-1}+\cdots +g_{1}x+1$$
其中: $r=n-k$ .

该码集中任意码字的码多项式必为g(x)的倍式。

非系统循环码的编码:
$$c(x)=u(x)g(x)$$

设某 (7,4) 循环码的生成多项式为$g(x)=x^3+x+1$，问信息串 0110 的循环码是什么?

解:

$$c(x)=u(x)g(x)=(x^2+x)(x^3+x+1)=x^5+x^4+x^3+x$$

故码字为: 0111010

定理2: 当且仅当 g(x) 是 $x^{n+1}$ 的 $r=n-k$ 次因式时, g(x)是(n, k)循环码的生成多项式。

定理3: (n, k) 循环码的校验多项式为
h ( x ) = x n + 1 g ( x ) = h k x k + h k − 1 x k − 1 + ⋯ + h 1 x + h 0

$$\begin{array}{l} h(x)=\frac{x^{n}+1}{g(x)} \\ =h_{k} x^{k}+h_{k-1} x^{k-1}+\cdots+h_{1} x+h_{0} \end{array}$$ h(x)=g(x)xn+1​=hk​xk+hk−1​xk−1+⋯+h1​x+h0​​
写出下面(7,3)循环码的生成多项式

$$g(x)=x^4+x^3+x^2+1arrow0011101$$
(1) 生成多项式、生成矩阵

循环码生成多项式的特点:

• g(x) 的 0 次项是 1 ;
• g(x) 唯一确定, 即它是码多项式中除 0 多项式以外次数最低的多项式;
• 循环码每一码多项式都是 g(x) 的倍式, 且每一个小于等于 (n-1) 次的 g(x) 倍式一定是码多项式;
• g(x) 的次数为 (n-k) ;
• g(x) 是 $x^n+1$ 的一个因子。

为了保证构成的生成矩阵 G 的各行线性不相关, 通常用生成多项式 g(x) 来构造生成矩阵; 若码多项式为降幂排列,
g ( x ) = g n − k x n − k + g n − k − 1 x n − k − 1 + ⋯ + g 1 x + g 0 , r = n − k C ( x ) = u G ( x ) = ( u k − 1 u k − 2 ⋯ u 0 ) G ( x ) = u k − 1 x k − 1 g ( x ) + u k − 2 x k − 2 g ( x ) + ⋯ + u 0 g ( x ) G ( x ) = [ x k − 1 g ( x ) x k − 2 g ( x ) ⋮ g ( x ) ] r i g h t a r r o w G = [ g r g r − 1 ⋯ g 1 g 0 0 0 ⋯ 0 0 g r g r − 1 ⋯ g 1 g 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 0 g r g r − 1 ⋯ g 1 g 0 ]

$$\begin{array}{l} g(x)=g_{n-k} x^{n-k}+g_{n-k-1} x^{n-k-1}+\cdots+g_{1} x+g_{0}, r=n-k \\ C(x)=\mathbf{u G}(x)=(u_{k-1} u_{k-2} \cdots u_{0}) \mathbf{G}(x) \\ =u_{k-1} x^{k-1} g(x)+u_{k-2} x^{k-2} g(x)+\cdots+u_{0} g(x) \\ G(x)=[\begin{array}{c} x^{k-1} g(x) \\ x^{k-2} g(x) \\ \vdots \\ g(x) \end{array}$$ ] rightarrow G=[ $$\begin{array}{ccccccccc} g_{r} & g_{r-1} & \cdots & g_{1} & g_{0} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & g_{r} & g_{r-1} & \cdots & g_{1} & g_{0} & 0 & \cdots & 0 \\ & \vdots & & & & & \vdots & & \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & g_{r} & g_{r-1} & \cdots & g_{1} & g_{0} \end{array}$$ ] \\ \end{array} g(x)=gn−k​xn−k+gn−k−1​xn−k−1+⋯+g1​x+g0​,r=n−kC(x)=uG(x)=(uk−1​uk−2​⋯u0​)G(x)=uk−1​xk−1g(x)+uk−2​xk−2g(x)+⋯+u0​g(x)G(x)=[xk−1g(x)xk−2g(x)⋮g(x)​]rightarrowG=[gr​00​gr−1​gr​⋮⋯​⋯gr−1​0​g1​⋯0​g0​g1​gr​​0g0​gr−1​​00⋮⋯​⋯⋯g1​​00g0​​]​
显然, 上式不符合 $\mathbf{G}=({\mathbf{I}}_k:\mathbf{Q})$ 形式, 所以此生成矩阵不是典型形式。

系统码生成矩阵的构造

系统码-信息位在码字高位, 因此编码时需要先将信息位置于码字高位, 即 u(x) \bullet x^{n-k} 。 码字低位为校验位，如何获得?
c ( x )   m o d   g ( x ) = 0 c ( x ) = u ( x ) ⋅ x n − k + r ( x ) 0 = { [ u ( x ) x n − k ]   m o d   g ( x ) + r ( x ) } = r ( x ) [ u ( x ) x n − k ]   m o d   g ( x )

$$\begin{array}{c} c(x)_{\bmod g(x)}=0 \\ c(x)=u(x) \cdot x^{n-k}+r(x) \\ \mathbf{0}=\{[u(x) x^{n-k}]_{\bmod g(x)}+r(x)\} \end{array}$$ \quad \stackrel{r(x)}{=}[u(x) x^{n-k}] \bmod g(x) c(x)modg(x)​=0c(x)=u(x)⋅xn−k+r(x)0={[u(x)xn−k]modg(x)​+r(x)}​=r(x)[u(x)xn−k]modg(x)
(2) 系统循环码

系统循环码的编码:

a. 选择一信息码多项式 $\mu (x)$ , 使 $r(x)=x^{n-k}\mu (x)\mathrm{mod}g(x)$

b. 产生系统循环码式$\mathrm{c}(x)=x^{n-k}\mu (x)+r(x)$

有一 (15, 11) 汉明循环码, 其生成多项式 $g(x)=x^4+x+1$ , 若输入信息分组为 (10010010010), 求出 (15,11) 系统循环码字。

解: $u(x)=x^{10}+x^7+x^4+x$
x n − k u ( x ) = x 4 u ( x ) = x 14 + x 11 + x 8 + x 5 r ( x ) = [ x 4 u ( x ) ]   m o d   g ( x ) = x 2 ∴ c ( x ) = x 14 + x 11 + x 8 + x 5 + x 2 c = 10010010010 ( 0100 ) 监督位

$$\begin{array}{l} x^{n-k} u(x)=x^{4} u(x)=x^{14}+x^{11}+x^{8}+x^{5} \\ r(x)=[x^{4} u(x)] \bmod g(x)=x^{2} \\ \therefore c(x)=x^{14}+x^{11}+x^{8}+x^{5}+x^{2} \\ c=10010010010(0100)监督位 \end{array}$$ xn−ku(x)=x4u(x)=x14+x11+x8+x5r(x)=[x4u(x)]modg(x)=x2∴c(x)=x14+x11+x8+x5+x2c=10010010010(0100)监督位​
非系统码: $c(x)=u(x)g(x)=x^{14}+x^{10}+x^7+x^4+x^2+x$ c=1000100100101100

已知某循环码生成多项式为$g(x)=x^8+x^6+x^4+x^2+1$，那么采用此多项式生成循环码时，校验位有 [8] 位。

已知某循环码生成多项式为$g(x)=x^8+x^6+x^4+x^2+1$，证明该多项式是$x^{10}+1$的一个因式。 直接长除即可，这里不多赘述。

请写出生成多项式为$g(x)=x^8+x^6+x^4+x^2+1$的系统型循环码 (10 ，2) 的码表。并说明该码至少能纠几位错。

$d_{\min }$=5, 能纠2位错

系统码的循环码生成矩阵

G ( x ) = [ x n − 1 + ( x n − 1 )   m o d   g ( x ) x n − 2 + ( x n − 2 )   m o d   g ( x ) ⋮ x n − i + ( x n − i )   m o d   g ( x ) ⋮ g ( x ) ] = [ 1 0 ⋯ 0 r 1 , 1 r 1 , 2 ⋯ r 1 , n − k 0 1 ⋯ 0 r 2 , 1 r 2 , 2 ⋯ r 2 , n − k ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 r k , 1 r k , 2 ⋯ r k , n − k ] G(x)=[

$$\begin{array}{c} x^{n-1}+(x^{n-1})_{\bmod g(x)} \\ x^{n-2}+(x^{n-2})_{\bmod g(x)} \\ \vdots \\ x^{n-i}+(x^{n-i})_{\bmod g(x)} \\ \vdots \\ g(x) \end{array}$$ ]=[ $$\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & r_{1,1} & r_{1,2} & \cdots & r_{1, n-k} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & r_{2,1} & r_{2,2} & \cdots & r_{2, n-k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & r_{k, 1} & r_{k, 2} & \cdots & r_{k, n-k} \end{array}$$ ] G(x)=[xn−1+(xn−1)modg(x)​xn−2+(xn−2)modg(x)​⋮xn−i+(xn−i)modg(x)​⋮g(x)​]=[10⋮0​01⋮0​⋯⋯⋯​00⋮1​r1,1​r2,1​⋮rk,1​​r1,2​r2,2​⋮rk,2​​⋯⋯⋯​r1,n−k​r2,n−k​⋮rk,n−k​​]

某 (7,4) 循环码的生成多项式是 $g(x)=x^3+x+1$ , 求系统码的生成矩阵。

解：
( x 6 )   m o d   g ( x ) = x 2 + 1 ( x 5 )   m o d   g ( x ) = x 2 + x + 1 ( x 4 )   m o d   g ( x ) = x 2 + x a r r o w G = [ 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 ]

$$\begin{array}{l} (x^{6}) \bmod g(x)=x^{2}+1 \\ (x^{5}) \bmod g(x)=x^{2}+x+1 \\ (x^{4}) \bmod g(x)=x^{2}+x \end{array}$$ \quad arrow G=[ $$\begin{array}{lllllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}$$ ] (x6)modg(x)=x2+1(x5)modg(x)=x2+x+1(x4)modg(x)=x2+x​arrowG=[1000​0100​0010​0001​1110​0111​1101​]

循环码的监督 (校验) 矩阵

关系: $\mathbf{G}{\mathbf{H}}^T=0$ 。

a. 监督矩阵构造：由性质 $x^n+1=g(x)h(x)$ ;
h ( x ) = h k x k + h k − 1 x k − 1 + … + h 1 x + h 0 H = [ h 0 h 1 ⋯ h k 0 ⋯ 0 0 h 0 h 1 ⋯ h k ⋯ 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ h 0 h 1 ⋯ h k ]

$$\begin{array}{l} h(x)=h_{k} x^{k}+h_{k-1} x^{k-1}+\ldots+h_{1} x+h_{0} \\ H=[\begin{array}{ccccccc} h_{0} & h_{1} & \cdots & h_{k} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & h_{0} & h_{1} & \cdots & h_{k} & \cdots & 0 \\ & \vdots & & & & \vdots & \\ 0 & 0 & \cdots & h_{0} & h_{1} & \cdots & h_{k} \end{array}$$ ] \\ \end{array} h(x)=hk​xk+hk−1​xk−1+…+h1​x+h0​H=[h0​00​h1​h0​⋮0​⋯h1​⋯​hk​⋯h0​​0hk​h1​​⋯⋯⋮⋯​00hk​​]​
b. 利用循环码的特点来确定监督矩阵 H :

由于 (n, k) 循环码中 g(x) 是 $x^{n+1}$ 的因式, 因此可令: $h(x)=\frac{x^n+1}{g(x)}=h_k{x}^k+h_{k-1}{x}^{k-1}+\cdots +h_{1}x+h_0$ 监督矩阵表示为:

H ( x ) = [ x n − k − 1 h ∗ ( x ) x n − k − 2 h ∗ ( x ) ⋮ x h ∗ ( x ) h ∗ ( x ) ] H(x)=[

$$\begin{array}{c} x^{n-k-1} h^{*}(x) \\ x^{n-k-2} h^{*}(x) \\ \vdots \\ x h^{*}(x) \\ h^{*}(x) \end{array}$$ ] H(x)=[xn−k−1h∗(x)xn−k−2h∗(x)⋮xh∗(x)h∗(x)​]

$$h^{\ast }(x)=h_0{x}^k+h_1{x}^{k-1}+h_2{x}^{k-2}+\cdots +h_{k-1}x$$

参考文献：

1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
3. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.