决策树剪枝算法原理_评价函数其实就是求叶结点的期望熵,用nt加权,叶子结点含有的样本数越多,对分类效

算法目的：

决策树的剪枝是为了简化决策树模型，避免过拟合。

• 同样层数的决策树，叶结点的个数越多就越复杂；同样的叶结点个数的决策树，层数越多越复杂。
• 剪枝前相比于剪枝后，叶结点个数和层数只能更多或者其中一特征一样多，剪枝前必然更复杂。
• 层数越多，叶结点越多，分的越细致，对训练数据分的也越深，越容易过拟合，导致对测试数据预测时反而效果差。

算法基本思路：

剪去决策树模型中的一些子树或者叶结点，并将其上层的根结点作为新的叶结点，从而减少了叶结点甚至减少了层数，降低了决策树复杂度。

模型损失函数

1. 变量预定义：$|T_{leaf}|$表示树T的叶结点个数，记号t表示树T的某个叶结点，同时，$N_t$表示该叶结点含有的样本点个数，其中属于k类的样本点有$N_{tk}$个，K表示类别的个数，$H_t(T)$为叶结点t上的经验熵，$\alpha \ge 0$为参数。
   注：显然有$N_t=\sum _{k=1}^K{N}_{tk}$
2. 损失函数(经验熵损失)：$H_t(T)=-\sum _{k=1}^K\frac{N_{tk}}{N_t}\log \frac{N_{tk}}{N_t}$
   注：以经验熵为评价函数（即损失函数$Loss(Y,T(x))$）。称为经验熵，是因为它是基于样本对真实随机变量的熵的估计。
3. 经验风险：$C(T)=\sum _{t=1}^{|T_{leaf}|}{N}_t{H}_t(T)$
   注：损失函数的期望称为期望风险，需要知道整个特征空间的联合概率分布求积分，通常用经验风险估计它，即用样本的损失函数的期望对它估计，与经验熵的叫法类似。
4. 结构风险(目标函数)：$C_a(T)=\sum _{t=1}^{|T_{leaf}|}{N}_t{H}_t(T)+\alpha |T_{leaf}|$
   注：结构风险=经验风险+正则项，正则项即是惩罚项，与模型复杂度正相关，可减轻过拟合。
   目标函数简化形式：$C_a(T)=C(T)+\alpha |T_{leaf}|$

• 经验熵反映了一个叶结点中的分类结果的混乱程度。经验熵越大，说明该叶结点所对应的分类结果越混乱，也就是说分类结果中包含了较多的类别，表明该分支的分类效果较差。
• 评价函数越小越好。经验熵越小越好。而以经验熵作为评价函数，其值越大，说明模型的分类效果越差，因而又称损失函数。
• 经验风险其实是求叶结点的经验熵期望。用$N_t$给经验熵加权的依据是叶子节点含有的样本个数越多，其分类效果或混乱程度越占主导，相当于求样本期望，可以更好的描述分支前后的关系。例如设一个结点r有n个样本，其组成是第i类有$n_i$个样本，在分了几个孩子结点后各个叶结点的成分仍保持原比例，记新的子树为R，可以计算得出评价函数$C(r)=C(R)$，即在随机分组后不会有任何分类效果的改进。
• 修正项$\alpha |T_{leaf}|$被称为正则项或惩罚项，表示模型复杂度。加入正则项的原因有2个：a.模型过于复杂会出现过拟合现象（在训练集上表现较好而在测试集上表现较差）；b.在保障效果的同时尽可能选取简单的模型（即奥卡姆剃刀原理）。如上面提到的随机分组的例子，r与R其实在评价函数评估后的得分是一样的，但是我们仍然觉得r更好，原因在于R的复杂度更高。此外，加了此正则项后，$\alpha$的值具有与现实对应的意义：当$\alpha =0$，表示未剪枝的完全树损失更小（熵更小的占主导地位）；当$\alpha ->\infty$，表示剪枝到只剩根结点更好（叶结点个数占主导地位）。
  正则项$\alpha |T_{leaf}|$可以避免过拟合的解释。正则项$\alpha |T_{leaf}|$考虑到了复杂度，$\alpha$值设置得好可以避免出现完全树和根结点这类的极端情况，因此可以避免过拟合。加入了正则项，目标函数将从“经验风险”变为“结构风险”，即结构风险=经验风险+正则项。
  纯结点的经验熵$H_p=0$最小，即设$N_{tj}=N_t$则有$H_p=-(1\log 1+\sum _{k=1...K且k\ne j}0)=0$
  均结点的经验熵$H_u=\log K$最大，即$H_p=-\sum _{k=1}^K\frac{1}{K}\log \frac{1}{K}=\log K$

剪枝类型：

预剪枝、后剪枝

• 预剪枝是在决策树生成过程中，对树进行剪枝，提前结束树的分支生长。
• 后剪枝是在决策树生长完成之后，对树进行剪枝，得到简化版的决策树。

预剪枝依据：

• 作为叶结点或作为根结点需要含的最少样本个数
• 决策树的层数
• 结点的经验熵小于某个阈值才停止

后剪枝思路：

1. 如何由$T_i$剪枝得到$T_{i-1}$：
   如图
   

• $C_{\alpha }(r)=C(r)+\alpha$
• $C_{\alpha }(R)=C(R)+N_R\ast \alpha$，其中$N_R$为子树R的叶子结点数
• 一般地有$C(r)>=C(R)$， 我们可以令$C_{\alpha }(r)=C_{\alpha }(R)$求出$\alpha =\frac{C(r)-C(R)}{N_R-1}$
• 当我们把所有的非叶结点的$\alpha$求出来后比较它们的$\alpha$值，在最小的$\alpha$所在结点处剪枝。
  为什么要在最小的$\alpha$所在结点处剪枝：设给定一$\alpha$来求两个结点$r_1$、$r_2$处的损失函数$C_{\alpha }(r_1)$和$C_{\alpha }(r_2)$以判定是否适合继续分支，且使得给定的$\alpha$介于它们自己的阈值参数${\alpha }_1$与${\alpha }_2$之间，假设${\alpha }_1$<$\alpha$<${\alpha }_2$。则
  对于$r_1$来说，${\alpha }_1$<$\alpha$，$\alpha$给大了，参数占主导，剪枝能使得叶结点数（即参数的系数）变小，剪枝能使得$C_{\alpha }(r_1)$较小，剪枝更好；
  对于$r_2$来说，$\alpha$<${\alpha }_2$，$\alpha$给小了，$C(r_2)-C(R_2)$的值占主导，即
  $C_{\alpha }(r)-C_{\alpha }(R)$
  $=C(r)+\alpha -C(R)-N_R\ast \alpha$
  $=[C(r_2)-C(R_2)]+[1-N_R]\ast \alpha$
  不剪枝能使得叶结点数（即参数的系数）更大，$C_{\alpha }(r)-C_{\alpha }(R)$更接近0，剪枝更好。
  我们看出参数阈值较小的$r_1$处剪枝更好，因此要在最小的$\alpha$所在结点处剪枝。

2. 由$T_i$剪枝得到$T_{i-1}$后，可以得出$T_0->T_1->T_2->...->T_n$，但不一定每次剪枝都能使得损失函数降低，可以对每一个$T_i$算出其损失函数进行比较，取损失函数值最小的那棵决策树。

注：10 决策树和随机森林实践
参考：http://blog.csdn.net/ritchiewang/article/details/50254009