算法设计与分析——期末复习

算法

算法与程序

算法是解决问题的方法与过程。

（1）输入：有0个或多个外部量作为算法的输入
（2）输出：算法产生至少一个量作为输出
（3）确定性：组成算法的每条指令是清晰的、无歧义的
（4）有限性：算法中每条指令的执行次数有限，执行每条指令的时间也有限。

程序可不满足有限性。

算法复杂性分析

把算法执行每行的次数与执行每行所需要的时间相乘，然后把所有的时间求和。

算法分析的基本法则

非递归算法：
（1）for / while 循环
循环体内计算时间*循环次数；
（2）嵌套循环
循环体内计算时间*所有循环次数；
（3）顺序语句
各语句计算时间相加；
（4）if-else语句
if语句计算时间和else语句计算时间的较大者。

最优算法

问题的计算时间下界为(f(n))，则计算时间复杂性为O(f(n))的算法是最优算法。
例如，排序问题的计算时间下界为(nlogn)，计算时间复杂性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。
堆排序算法是最优算法。

递归与分治策略 

分解-解决-合并，写递归式，求时间复杂度。

分治策略

对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
 

递归策略

直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

 分治法解决的问题

规模缩小到一定程度可以解决
可分为若干规模相同问题
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解

回答可用分治法解决的问题时，要先解释该算法可以分解-解决-合并。 

动态规划 

设计动态规划算法的方法：
（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。
（2）递归的定义最优值。
（3）以自底向上的方式计算出最优值。
（4）根据最优值时得到的信息，构造最优解。

1、最优子结构：问题的最优解包含了子问题的最优解
2、重叠子问题：子问题重复多次
3、备忘录算法

用动态规划解决问题，要证明其最优子结构性质，一般用反证法。 

然后在解释递归结构，写出递归式。最后可以用图形演示算法。

贪心算法

证明贪心选择性质方法：首先证明一个问题的最优解可以修改成贪心算法的形式；再用数学归纳法证明，通过每一次贪心选择，最终可以得到问题的最优解。

重点算法复习

快速排序、线性时间选择、最接近点对问题

回溯法

解题步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间。

（2）确定易于搜索的解空间结构。（子集树、排列树或其他）

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

分支限界法

常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。

在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

从活结点表中选择下一扩展结点的不同方式导致不同的分支限界法。最常见的有以下两种方式：

（1）队列式分支限界法（先进先出）

（2）优先队列式分支限界法（优先级高的先选）

概率算法

数值概率算法

舍伍德算法

拉斯维加斯算法

蒙特卡罗算法

NP完全性理论与近似算法

略