0204克拉默法则-矩阵及其运算-线性代数

含有n个未知数$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的n个线性方程的方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋯ ⋯   , a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n ,

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\cdots,\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n,\\ \end{cases}$$ ⎩ ⎨ ⎧​a11​x1​+a12​x2​+⋯+a1n​xn​=b1​,a21​x1​+a22​x2​+⋯+a2n​xn​=b2​,⋯⋯,an1​x1​+an2​x2​+⋯+ann​xn​=bn​,​

克拉默法则 如果线性方程组的系数矩阵A的行列式不等于零，即
∣ A ∣ = ∣ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ∣ ≠ 0 |A|=

$$\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}$$ \not=0 ∣A∣= ​a11​⋮an1​​⋯⋯​a1n​⋮ann​​ ​=0
那么方程组有唯一解

$x_1=\frac{|A_1|}{|A|},x_2=\frac{|A_2|}{|A|},\cdots ,x_n=\frac{|A_n|}{|A|}$

其中$A_j(j=1,2,\cdots ,n)$是吧系数矩阵A中第$j$列的元素哟好难过方程组右端常数项代替后所得到的n阶矩阵，即
A j = ( a 11 ⋯ a 1 j − 1 b 1 a 1 j + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n j − 1 b n a n j + 1 ⋯ a n n ) A_j=

$$\begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1j-1}&b_1&a_{1j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj-1}&b_n&a_{nj+1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$$ Aj​= ​a11​⋮an1​​⋯⋯​a1j−1​⋮anj−1​​b1​⋮bn​​a1j+1​⋮anj+1​​⋯⋯​a1n​⋮ann​​ ​

证明： 把方程组写成矩阵方程 A x = b A = ( a i j ) n × n 位 n 阶矩阵，因 ∣ A ∣ ≠ 0 ，故 A − 1 存在 x = A − 1 b 根据逆矩阵的唯一性，知 x = A − 1 b 是方程组的唯一解向量 x = A ∗ ∣ A ∣ b = 1 ∣ A ∣ ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) ( b 1 b 2 ⋮ b n ) = 1 ∣ A ∣ ( b 1 A 11 + b 2 A 21 + ⋯ + b n A n 1 b 1 A 12 + b 2 A 22 + ⋯ + b n A n 2 ⋮ b 1 A 1 n + b 2 A 2 n + ⋯ + b n A n n ) 即 x j = 1 ∣ A ∣ ( b 1 A 1 j + b 2 A 2 j + ⋯ + b n A n j ) = 1 ∣ A ∣ ∣ A j ∣ ( j = 1 , 2 , ⋯   , n ) 证明：\\ 把方程组写成矩阵方程 Ax=b\\ A=(a_{ij})_{n\times n}位n阶矩阵，因|A|\not=0，故A^{-1}存在\\ x=A^{-1}b\\ 根据逆矩阵的唯一性，知x=A^{-1}b是方程组的唯一解向量\\ x=\frac{A^*}{|A|}b=\frac{1}{|A|}

$$\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\ \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{pmatrix}$$ \\ =\frac{1}{|A|} $$\begin{pmatrix} b_1A_{11}+b_2A_{21}+\cdots+b_nA_{n1}\\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+\cdots+b_nA_{n2}\\ \vdots\\ b_1A_{1n}+b_2A_{2n}+\cdots+b_nA_{nn}\\ \end{pmatrix}$$ \\ 即x_j=\frac{1}{|A|}(b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+\cdots+b_nA_{nj})=\frac{1}{|A|}|A_j|(j=1,2,\cdots,n) 证明：把方程组写成矩阵方程Ax=bA=(aij​)n×n​位n阶矩阵，因∣A∣=0，故A−1存在x=A−1b根据逆矩阵的唯一性，知x=A−1b是方程组的唯一解向量x=∣A∣A∗​b=∣A∣1​ ​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋯​An1​An2​⋮Ann​​ ​ ​b1​b2​⋮bn​​ ​=∣A∣1​ ​b1​A11​+b2​A21​+⋯+bn​An1​b1​A12​+b2​A22​+⋯+bn​An2​⋮b1​A1n​+b2​A2n​+⋯+bn​Ann​​ ​即xj​=∣A∣1​(b1​A1j​+b2​A2j​+⋯+bn​Anj​)=∣A∣1​∣Aj​∣(j=1,2,⋯,n)

例16 用克拉默法则求解线性方程组
{ x 1 − x 2 − x 3 = 2 2 x 1 − x 2 − 3 x 3 = 1 3 x 1 + 2 x 2 − 5 x 3 = 0

$$\begin{cases} x_1-x_2-x_3=2\\ 2x_1-x_2-3x_3=1\\ 3x_1+2x_2-5x_3=0\\ \end{cases}$$ ⎩ ⎨ ⎧​x1​−x2​−x3​=22x1​−x2​−3x3​=13x1​+2x2​−5x3​=0​

解 ∣ A ∣ = ∣ 1 − 1 − 1 2 − 1 − 3 3 2 − 5 ∣ = 5 + 9 − 4 − ( 3 + 10 − 6 ) = 3 ≠ 0 根据克拉默法则，有 x 1 = A 1 ∣ A ∣ = 1 3 ∣ 2 − 1 − 1 1 − 1 − 3 0 2 − 5 ∣ = 1 3 ( 10 − 2 − 5 + 12 ) = 5 x 2 = A 1 ∣ A ∣ = 1 3 ∣ 1 2 − 1 2 1 − 3 3 0 − 5 ∣ = 1 3 ( − 5 − 18 + 3 + 20 ) = 0 x 3 = A 1 ∣ A ∣ = 1 3 ∣ 1 − 1 2 2 − 1 1 3 2 0 ∣ = 1 3 ( − 3 + 8 + 6 − 2 ) = 3 解\\ |A|=

$$\begin{vmatrix} 1&-1&-1\\ 2&-1&-3\\ 3&2&-5 \end{vmatrix}$$ =5+9-4-(3+10-6)=3\not=0\\ 根据克拉默法则，有\\ x_1=\frac{A_1}{|A|}=\frac{1}{3} $$\begin{vmatrix} 2&-1&-1\\ 1&-1&-3\\ 0&2&-5 \end{vmatrix}$$ =\frac{1}{3}(10-2-5+12)=5\\ x_2=\frac{A_1}{|A|}=\frac{1}{3} $$\begin{vmatrix} 1&2&-1\\ 2&1&-3\\ 3&0&-5 \end{vmatrix}$$ =\frac{1}{3}(-5-18+3+20)=0\\ x_3=\frac{A_1}{|A|}=\frac{1}{3} $$\begin{vmatrix} 1&-1&2\\ 2&-1&1\\ 3&2&0 \end{vmatrix}$$ =\frac{1}{3}(-3+8+6-2)=3\\ 解∣A∣= ​123​−1−12​−1−3−5​ ​=5+9−4−(3+10−6)=3=0根据克拉默法则，有x1​=∣A∣A1​​=31​ ​210​−1−12​−1−3−5​ ​=31​(10−2−5+12)=5x2​=∣A∣A1​​=31​ ​123​210​−1−3−5​ ​=31​(−5−18+3+20)=0x3​=∣A∣A1​​=31​ ​123​−1−12​210​ ​=31​(−3+8+6−2)=3

结语

❓QQ:806797785

⭐️文档笔记地址 https://github.com/gaogzhen/math

参考：

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p44-46.

[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p11.