数学建模——欧拉算法（求解常微分方程）

欧拉算法

定义

定义：在数学和计算机科学中，欧拉方法，命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉，是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程（即初值问题）求解。它是一种解决数值常微分方程的最基本的一类显型方法（Explicit method）。

欧拉法是常微分方程的数值解法的一种，其基本思想是迭代。其中分为前进的EULER法、后退的EULER法、改进的EULER法。所谓迭代，就是逐次替代，最后求出所要求的解，并达到一定的精度。误差可以很容易地计算出来。

非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使是$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y^2+x^2$。对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法是一个重要的手段。

公式推导

设微分方程为
{ d y d x = f ( x n , y ( x n ) ) , a ≤ x ≤ b y ( a ) = y 0

$$\begin{cases} \frac{\mathrm{ d}y}{\mathrm{d}x}=f(x_n,y(x_n)),&a\leq x \leq b\\ y(a)=y_0 \end{cases}$$ {dxdy​=f(xn​,y(xn​)),y(a)=y0​​a≤x≤b

• 差商近似导数

  若用向前差商$\frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h}$代替$y^{\prime }(x_n)$带入微分方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x_n,y(x_n))$中，可得
  $$\begin{gathered} \frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h}\approx f(x_n,y(x_n)) \\ y(x_{n+1})=y(x_n)+hf(x_n,y(x_n)) \end{gathered}$$

如果用$y(x_n)$的近似值$y_n$代入上式右端，所得结果作为$y(x_{n+1})$得近似值，记为$y_{n+1}$，则有
$$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n),n=0,1,\cdots ,N-1$$
这样，微分方程的近似解可以通过求解下述式子来获得
{ y n + 1 = y n + h f ( x n , y n ) , n = 0 , 1 , ⋯   , N − 1 y 0 = y ( a )

$$\begin{cases} y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n),& n=0,1,\cdots,N-1\\ y_0=y(a) \end{cases}$$ {yn+1​=yn​+hf(xn​,yn​),y0​=y(a)​n=0,1,⋯,N−1

算法缺点

欧拉算法简单地取切线地端点作为起点来计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此，欧拉算法一般不用于实际计算。