数字思维：改变世界的4个方程_描述世界的4个方程

在17世纪之前，与电有关的现象（例如，磁性、闪电和会放电的鱼），一直是科学奇闻。18世纪，本杰明·富兰克林首次对电进行了广泛和系统的研究，尽管在他之前也有其他科学家研究过电现象。据说，在1752年进行的一项实验中，富兰克林利用风筝从暴风雨中捕捉到了电能。

亚历山德罗·伏打于1800年发明了电池，之后很多实验都可以利用电流来完成。汉斯·克里斯蒂安·奥斯特和安德烈·玛丽·安培发现了电流和磁场之间关系的多个性质，但真正使人们理解电并把电变成一种有用技术的是迈克尔·法拉第的研究成果。法拉第对电流周围的磁场进行了广泛研究，为电磁场的概念奠定了基础。他熟悉电阻、电容、电感器等基本电路元件，而且研究了电路的工作原理。他还发明了第一台电动机和发电机。电气技术在19世纪得到实际应用，主要归功于他的努力。法拉第想象在电气装置和磁性装置周围存在某种场（他称之为电紧张态），电磁现象是由这种场的内部变化引起的。

不过，法拉第几乎没有受过正规的数学训练，因此，建立方程并用它们来控制电磁场行为的任务就落到了詹姆斯·克拉克·麦克斯韦身上，现在这些方程就是以他的名字命名的。1864—1865年，麦克斯韦（获悉了法拉第的研究成果）发表了他的研究结果，指出电场和磁场是电和磁性的基础，而且它们都可以在空间中以波的形式传播。此外，他认为光本身就是一种电磁波，因为它与电磁场的传播速度相同。这些成果的数学公式形成了一组方程，它们是科学史上最著名和最具影响力的方程之一。

麦克斯韦最初在《电磁通论》中提出这个方程组时，它一共包含了20个不同的方程。（麦克斯韦没有现代数学工具，而我们可以借助这些工具，用简单的形式描述复杂的数学运算。）当时，只有少数几位物理学家和工程师能理解麦克斯韦方程组的全部含义，因此它们受到许多科学界人士的极大怀疑，其中就包括威廉·汤姆森（后来的开尔文勋爵）。许多物理学家都积极投身到研究和发展麦克斯韦方程组的工作中来，历史学家布鲁斯·亨特在一本同名著作中称他们为“麦克斯韦学派”。

很快，奥利弗·赫维赛就理解了麦克斯韦方程组的潜在重要性。在他一生中的大部分时间里，赫维赛都致力于重构麦克斯韦方程组，最终使其变成现在物理学家和工程师熟悉的4个方程。我们可以在T恤和汽车保险杠上看到它们，尽管大多数人都识别不出它们或者忘记了它们的含义。在加州大学伯克利分校的电报大道上、麻省理工学院里和其他许多地方，我们都可以买到印有图3–1所示图案的T恤。这些T恤不禁让人想起路德维希·玻尔兹曼的问题：“这些符号难道是上帝亲手写下的吗？”这句话引自歌德的《浮士德》，“这些符号”指的是麦克斯韦方程组。

在麦克斯韦方程组的优美而又令人费解的数学形式背后，隐藏着控制电磁场行为的定律。我们今天使用的几乎每一种电气或电子设备中，都存在电磁场。麦克斯韦方程组描述的是电场（$E$）和磁场（$B$）的相互作用方式，以及它们与包括电荷密度（$\rho$）和电流密度（$J$）在内的其他物理实体之间的关系。参数${\epsilon }_0$与${\mu }_0$是物理常数，分别叫作自由空间的电容率和磁导率，它们的关系方程是${\mu }_0{\epsilon }_0=\frac{1}{c^2}$，其中$c$是光速。

根据奥利弗·赫维赛重构的麦克斯韦方程组与一件流行的T恤，我们可以解开世界起源的秘密

场是一个数学构造，它为空间中的每个点都赋予了特定值。对于标量场，这个值是一个数字；对于向量场，这个值是一个有方向和强度的向量。电场、磁场和引力场都是向量场，空间中的每个点都是由它们的方向和振幅定义的。麦克斯韦方程组之所以很难被同时代的人理解，其中一个原因是，他们很难想象或理解场，甚至更难理解场波在真空中的传播方式。

符号“∇”是一个数学运算符，它有两个不同的含义。如果它和场之间的运算符是“·”，那么它表示场的散度。散度指的是，在以某一点为中心的任意小的体积内，向量场的外向通量的体积密度。如果一个点的散度是正值，就说明这里有场的外向通量。引力场的散度是质量，电场的散度是电荷。电荷可以是正的，也可以是负的，但没有负的质量（至少我们还未发现）。如果某一点有正电荷，就会创造出一个出射场；如果有负电荷，就会创造出入射场。

如果∇和场之间的运算符是“×”，那么它表示场的旋度，也就是场在特定点的旋转方式示值。假设场内有一个很小的球，用来表示水等流体的运动情况，那么场的旋度可被视为描述小球旋转运动性质的向量，这是因为流体流经各个面的速度略有不同。旋度由一个与小球的旋转轴同向的向量来表示，其长度与转速成正比。

麦克斯韦方程组中的第一个方程可以表述为，从某个体积离开的电场总量等于该体积内的电荷总量。这是对电场由带电粒子产生这个事实的数学表述。

第二个方程指出，从某个体积离开的磁场总量必定等于进入该体积的磁场总量。在这个方面，电场和磁场不同，因为电场是由带电粒子产生的，但并不存在可以产生磁场的磁单极子。因此，磁场总是闭合回路，进入某个体积的磁场总量必定等于离开该体积的磁场总量。

第三个方程指出，一个闭合回路周围积累的电势差，即电压差，等于通过该回路封闭区域的磁通量随时间发生的变化。

第四个方程指出，流经某个面积的电流及电场变化与该面积周围分布的磁场成正比。

随着时间的推移，人们对电场和磁场之间关系的理解，促使电发展成20世纪最有用的技术。1888年，在德国卡尔斯鲁厄大学的前身任教的海因里希·赫兹率先通过实验证明了麦克斯韦预言的电磁波的存在，以及电磁波可用于远距离传输信息。

现在，我们依靠电动机和发电机驱动电器，生产我们购买的消费品，加工和保存我们食用的大部分食物。电视、电话和计算机依靠电场和磁场发送、接收和存储信息，许多医学影像技术也建立在麦克斯韦方程组的基础之上。

电气工程师和物理学家每天都会使用麦克斯韦方程组，尽管有时是通过不同或者简化的形式。举一个简单的例子，我们就可以生动地理解麦克斯韦方程组是如何定义电路行为的。我们来看第三个方程，它表明当穿过闭合电路封闭区域的磁场不变时，在该电路周围测得的电压和为零。图3–2所示电路中包括一个作为电压源的电池、一个电容器和一个电阻，应用第三个方程可得：$V_R+V_K-V_C=0$

由一个电容器、一个电阻和一个电压源组成的电路

这个表达式是通过计算电路（电流沿顺时针方向流动）周围的电压降之和得出的。电压降$V_C$需要添加一个负号，因为它与电流方向相反；电压$V_K$（电池电压）和$V_R$（电阻电压）与电流方向相同。结果表明，通过电容器$I_C$的电流与通过电阻$I_R$的电流大小相等（方向相反），因为这个电路中所有的电流都会流经导线。

麦克斯韦的第四个方程表明，通过电容器的电流与电容器极板间的电场随时间的变化率成正比，由此得到表达式$I_C=C{\dot{V}}_C$，这是因为电场（在本例中是）与电容器极板间的电压差$V_C$成正比。在这个方程中，$V_C$上方加点表示这个量随时间的变化率。在数学上，它被称为关于时间的导数，也可以表示为$\frac{d{V}_C}{dt}$。

1827年，另一位德国物理学家乔治·欧姆描述了电阻上的电流$I_R$和电压$V_R$之间的线性关系。欧姆定律指出，根据电阻$R$的值，这两个变量之间存在线性关系$V_R=R\cdot I_R$。把这些表达式放在一起可以得到$$-C{\dot{V}}_C=\frac{(V_C-V_K)}{R_0}$$

这个表达式是应用麦克斯韦方程组和欧姆定律得到的直接结果，也是一个含单一未知数$V_C$（电容器上的电压，会随时间发生变化）的微分方程。表达式中的所有其他参数都是已知的固定物理量。这类微分方程在变量及其随时间的变化率之间建立了联系。上面这个微分方程可以用解析法或数值法求解，从而得出电容器上的电压随时间的变化率。通过类似的分析，我们可以推导出包含几千个甚至几百万个电子元件的复杂电路的行为。

我们现在知道，大脑中的神经元正是利用麦克斯韦方程组描述的电磁场来表演它们的“魔法”的。目前，速度飞快的计算机通过求解麦克斯韦方程组的方式，对人脑和电路进行模拟。