图的介绍以及Python实现_python实现图

一 、图相关概念介绍

1 顶点

顶点（也称“节点”）是图的基本部分。一个顶点也可能有额外的信息，将其称为“有效载荷”。

2 边

边（也称“弧”）是图的另一个基本部分。边连接两个顶点，即他们之间存在关系。边可以是单向，也可以是双向。如果图中的边都是单向的，称该图为有向图。

3 权重

边可以通过加权的形式表示从一个顶点到另一个顶点的成本。

4 图的数学定义

图$G=<V,E>$,$V$代表顶点的集合，$E$代表边的集合。每条边是一个元组$(v,w)$，其中$w,v\in V$，可以在元组中添加一维数据用来表示顶点相连边的权重。

路径

图中的路径是由边连接的顶点序列。定义一个路径为$w_1,w_2,...,w_n$，使得$(w_i,w_{i+1})\in E,1\le i\le n-1$. 未加权路径长度是路径中的边的数目，具体是 $n-1$ ；加权路径长度是路径中所有边的权重的总和。

循环有向图

循环有向图中的循环是指在同一顶点开始和结束的路径。没有循环的有向图称为有向无环图或 DAG 。

二 、图抽象数据类型

Graph()创建一个新的空图。
addVertex(vert)向图中添加一个顶点实例。
addEdge(fromVert, toVert)向连接两个顶点的图添加一个新的有向边。
addEdge(fromVert, toVert, weight)向连接两个顶点的图添加一个新的加权的有向边。
getVertex(vertKey)在图中找到名为 vertKey 的顶点。
getVertices()返回图中所有顶点的列表。
in 返回 True 如果 vertex in graph 里给定的顶点在图中，否则返回False。

1.邻接矩阵

邻接矩阵即一个二维矩阵。每个行和列表示图中的顶点。存储在行 $v$ 和列 $w$ 的交叉点处的单元中的值表示是否存在从顶点 $v$ 到顶点 $w$ 的边。 当两个顶点通过边连接时，我们说它们相邻。单元格中的值表示从顶点 $v$ 到顶点 $w$ 的边的权重。

邻接矩阵的优点是简单。对于小图，很容易看到哪些节点连接到其他节点。 然而，注意矩阵中的大多数单元格是空的，我们说这个矩阵是“稀疏的”，这样会浪费内存，所以并不是一种有效的存储方式。

2.邻接表

实现稀疏连接图的更高效的方法是使用邻接表。在邻接表实现中，保存 Graph 对象中的所有顶点,然后图中的每个顶点对象维护连接到的其他顶点。 使用字典完成顶点类的实现，其中字典键是顶点，值是权重。

邻接表避免了邻接矩阵表示稀疏图浪费内存的缺点。

3.邻接表Python实现

创建两个类 Graph 和 Vertex 。Vertex中的每个顶点通过字典 connectedTo 来跟踪它连接的顶点和每个边的权重。

class Vertex:
	def __init__(self,key):
		self.id = key
		self.connectedTo = {}

	def addNeighbor(self,nbr,weight=0):
		self.connectedTo[nbr] = weight

	def __str__(self):
		return str(self.id) + ' connectedTo: '+ str([x.id for x in self.connectedTo])

	def getConnections(self):
		return self.connectedTo.keys()

	def getId(self):
		return self.id

	def getWeight(self,nbr):
		return self.connectedTo[nbr]
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class Graph:
	def __init__(self):
		self.vertList = {}
		self.numVertices = 0

	def addVertex(self,key):
		self.numVertices = self.numVertices + 1
		newVertex = Vertex(key)
		self.vertList[key] = newVertex
		return newVertex

	def getVertex(self,n):
		if n in self.vertList:
			return self.vertList[n]
		else:
			return None

	def __contains__(self,n):
		return n in self.vertList

	def addEdge(self,f,t,cost=0):
		if f not in self.vertList:
			nv = self.addVertex(f)
		if t not in self.vertList:
			nv = self.addVertex(t)
		self.vertList[f].addNeighbor(self.vertList[t],cost)

	def getVertices(self):
		return self.vertList.keys()

	def __iter__(self):
		return iter(self.vertList.values())

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# 实例化
g = Graph()
for i in range(6):
    g.addVertex(i)
# print(g.vertList)
g.addEdge(0,1,5)
g.addEdge(0,5,2)
g.addEdge(1,2,4)
g.addEdge(2,3,9)
g.addEdge(3,4,7)
g.addEdge(3,5,3)
g.addEdge(4,0,1)
g.addEdge(5,4,8)
g.addEdge(5,2,1)
for v in g:
    for w in v.getConnections():
        print("(%s , %s)"%(v.getId() , w.getId()))
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