线性代数笔记20--特征值特征向量与旋转矩阵推导

1. 特征向量与特征值

研究对象是一个平面$A$，向量$X$通过$A$变换后仍然平行于$X$。

这样的向量就叫特征向量。
变换后的向量与原向量的比值就是特征值。

$$\begin{gathered} AX//X \\ AX=\lambda X \end{gathered}$$

如果矩阵$A$是奇异矩阵，那么$\lambda =0$是一个特征值。

1.1 举例子

• 投影矩阵
  如果$X$在投影平面上$PX=X,\lambda =1$;
  如果$X\perp P$,则$PX=0=0X,\lambda =0$
• 二阶矩阵
  $$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
  $$\begin{gathered} X_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]{\lambda }_1=1 \\ AX=X \end{gathered}$$
  $$\begin{gathered} X_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]{\lambda }_2=-1 \\ AX=-X \end{gathered}$$
  矩阵的迹
  $$trace=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$$
  矩阵的迹与对角线元素之和相等
  $$trace=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$$

1.2 求解$AX=\lambda X$

$$\begin{gathered} AX=\lambda X \\ (A-\lambda I)X=0 \end{gathered}$$
要使$X$为不为$0$,则矩阵$A-\lambda I$为奇异矩阵。
所以
$detA-\lambda I=0$
就变成了求解$A-\lambda I$的零空间。

举例子
A = [ 3 1 1 3 ] A − λ I = [ 3 − λ 1 1 3 − λ ] ( 3 − λ ) 2 − 1 = 0 λ 1 = 2 λ 2 = 4 A=

$$\begin{bmatrix} 3 & 1\\1 & 3 \end{bmatrix}$$ \\ A-\lambda I= $$\begin{bmatrix} 3-\lambda & 1\\1 & 3-\lambda \end{bmatrix}$$ \\ (3-\lambda)^2-1=0\\ \lambda_1=2\\\lambda_2=4 A=[31​13​]A−λI=[3−λ1​13−λ​](3−λ)2−1=0λ1​=2λ2​=4
6是迹，8是行列式的值。

A − 4 I = [ − 1 1 1 − 1 ]   X 1 = [ 1 1 ] A − 2 I = [ 1 1 1 1 ]   X 2 = [ 1 − 1 ] A-4I=

$$\begin{bmatrix} -1 & 1\\1 & -1 \end{bmatrix}$$ \ X_1= $$\begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix}$$ \\ A-2I= $$\begin{bmatrix} 1 & 1\\1 & 1 \end{bmatrix}$$ \ X_2= $$\begin{bmatrix} 1 \\-1 \end{bmatrix}$$ A−4I=[−11​1−1​] X1​=[11​]A−2I=[11​11​] X2​=[1−1​]
我们可以看到两个特征向量与我们的上一个例子中特征向量一样，特征值分别加$3$了。

这是因为
$$\begin{gathered} A+3I=A^{\prime } \\ AX=\lambda X \\ (A+3I)X=(\lambda +3)X \end{gathered}$$
但这对两个其他不同矩阵特征值不能应用。
$$\begin{gathered} AX=\alpha X \\ BY=\beta Y \end{gathered}$$
因为不能保证他们的特征向量一致。

举例子，旋转矩阵
r o t a = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] rota=

$$\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$ rota=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]

取$90^{\circ }$时旋转矩阵
Q = [ 0 − 1 1 0 ] Q=

$$\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Q=[01​−10​]

Q ′ = Q − λ I = [ − λ − 1 1 − λ ] d e t   Q ′ = λ 2 + 1 = 0 λ 1 = i λ 2 = − i Q'=Q-\lambda I=

$$\begin{bmatrix} -\lambda & -1\\ 1 & -\lambda \end{bmatrix}$$ \\ det\ Q'= \lambda^2+1=0\\ \lambda_1= i\\\lambda_2=-i Q′=Q−λI=[−λ1​−1−λ​]det Q′=λ2+1=0λ1​=iλ2​=−i
矩阵越对称，越有实数特征值。否则就是复数特征值。

再一个例子
A = [ 3 1 0 3 ] A ′ = A − λ I = [ 3 − λ 1 0 3 − λ ] d e t   A ′ = [ 3 − λ 1 0 3 − λ ] = ( λ − 3 ) 2 = 0 λ 1 = λ 2 = 1 X 1 = [ 1 0 ] A=

$$\begin{bmatrix} 3 & 1\\0 & 3 \end{bmatrix}$$ \\ A'=A-\lambda I= $$\begin{bmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{bmatrix}$$ \\ det\ A'= $$\begin{bmatrix} 3-\lambda & 1\\ 0 & 3-\lambda \end{bmatrix}$$ = (\lambda-3)^2=0\\ \lambda_1=\lambda_2=1\\ X_1= $$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ A=[30​13​]A′=A−λI=[3−λ0​13−λ​]det A′=[3−λ0​13−λ​]=(λ−3)2=0λ1​=λ2​=1X1​=[10​]
重根造成了特征向量的缺失

2. 旋转矩阵的推导

假设在二维平面上向量$\overrightarrow{OA}=(x,y)$，求逆时针旋转$\theta$后的坐标。

假设$\overrightarrow{OA}$的平面角为$\alpha$，则

$x^2+y^2=r^2$
$r\cos \alpha =x,r\sin \alpha =y$

假设旋转后的角度为$\beta$，则

$$\begin{gathered} \alpha +\theta =\beta \\ \cos \beta =cos(\alpha +\theta )=\cos \theta \cos \alpha -\sin \theta \sin \alpha \\ \sin \beta =\sin (\alpha +\theta )=\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha \end{gathered}$$
换成矩阵的形式
[ cos ⁡ β sin ⁡ β ] = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ cos ⁡ α sin ⁡ α ]

$$\begin{bmatrix} \cos \beta\\ \sin \beta\\ \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} \cos \theta &-\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \cos \alpha\\ \sin \alpha\\ \end{bmatrix}$$ [cosβsinβ​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][cosαsinα​]
等式两边同乘向量的模长得到旋转后的坐标
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}\cos \beta \\ \sin \beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\cos \beta \\ r\sin \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos \alpha \\ \sin \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}r\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}r\cos \alpha \\ r\sin \alpha \end{array}\right] \end{gathered}$$
整理后得到旋转后坐标与旋转前坐标关系
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$
所以旋转矩阵为
$$trans(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$