基于黏菌算法的函数寻优算法

一、理论基础

1、黏菌算法

黏菌算法(Slime Mould Algorithm, SMA)是根据黏菌的规食行为得到的一种优化算法。黏菌在规食过程中发现食物时，会有振荡收缩的特性。同时，在多个食物源之间会形成粗细不一的静脉网络，并且静脉网络的粗细与食物源的质量有关。此外，黏菌在获取食物源时，仍会有一定的概率对未知区域进行搜索。
黏菌主要有三种行为：接近食物、包裹食物和获取食物。

（1）接近食物

为了将黏菌的趋近行为建模为一个数学方程，提出了以下规则来模拟黏菌的收缩模式： X ( t + 1 ) = { X b ( t ) + v b × ( W × X A ( t ) − X B ( t ) ) , r < p v c × X ( t ) ,       r ≥ p (1) X(t+1)=

$$\begin{dcases}X_b(t)+vb×(W×X_A(t)-X_B(t)),r<p\\vc×X(t),\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,\,r≥p\end{dcases}$$ \tag{1} X(t+1)={Xb​(t)+vb×(W×XA​(t)−XB​(t)),r<pvc×X(t),r≥p​(1)其中，$vb$为$[-a,a]$之间的随机数，$vc$是在$[-1,1]$之间振荡并最终趋于零的参数，$t$为当前迭代次数，$X_b(t)$表示目前适应度最优的个体位置，$X(t)$表示当前黏菌个体的位置，$X_A(t)$和$X_B(t)$为两个随机个体位置，$W$表示黏菌的权重系数。
控制参数$p$、参数$vb$、参数$a$与权重系数$W$的更新公式如下：$$p=\tanh |S(i)-DF|\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，$i\in 1,2,\cdots ,n$，$S(i)$表示第$i$个黏菌个体的适应度值，$DF$为当前取得的最优适应度值。$$vb=[-a,a]\text{\hspace{1em}(3)}$$$$a=\text{arctanh}(-\left(\frac{t}{T}\right)+1)\text{\hspace{1em}(4)}$$$$W(SmellIndex(i))=\{\begin{array}{l}1+r\cdot log\left(\frac{bF-S(i)}{bF-wF}+1\right),condition\\ 1-r\cdot log\left(\frac{bF-S(i)}{bF-wF}+1\right),others\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$$$SmellIndex=sort(S)\text{\hspace{1em}(6)}$$其中，$condition$表示种群中适应度排在前一半个体，$others$表示剩下的个体，$r$表示$[0,1]$之间的随机数，$bF$表示当前迭代获取的最佳适应度值，$wF$表示当前迭代最差适应度值。$SmellIndex(i)$为适应度值序列(求极小值问题为递增序列)。

（2）包裹食物

黏菌个体的位置更新公式如下： X ( t + 1 ) = { r a n d ⋅ ( U B − L B ) + L B ,   r a n d < z X b ( t ) + v b × ( W × X A ( t ) − X B ( t ) ) , r < p v c × X ( t ) ,       r ≥ p (7) X(t+1)=

$$\begin{dcases}rand\cdot(UB-LB)+LB,\quad\quad \quad \quad \,rand<z\\X_b(t)+vb×(W×X_A(t)-X_B(t)),r<p\\vc×X(t),\quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad \quad \,\,\,\,\,r≥p\end{dcases}$$ \tag{7} X(t+1)=⎩⎪⎨⎪⎧​rand⋅(UB−LB)+LB,rand<zXb​(t)+vb×(W×XA​(t)−XB​(t)),r<pvc×X(t),r≥p​(7)其中，$UB$与$LB$为上下界，$rand$为均匀分布在0到1之间的随机数，$z$为自定义参数(值为0.03)。

（3）获取食物

$vb$的值在$[-a,a]$之间随机振荡，并且随着迭代次数的增加逐渐接近零。$vc$的值在$[-1,1]$之间振荡，最终趋于零，计算公式如下：$$vc=[-b,b]\text{\hspace{1em}(8)}$$$$b=1-t/T\text{\hspace{1em}(9)}$$$vb$和$vc$随迭代次数的变化情况如图1所示，$vb$和$vc$之间的协同作用模拟了黏菌的选择行为。

图1 vb和vc的变化情况

2、SMA算法伪代码

图2 SMA算法伪代码

二、仿真实验与分析

将SMA算法与GWO、SCA和WOA算法进行对比，以文献[1]中30维的F1~F5为例。种群规模设置为$N=30$，最大迭代次数$T=1000$，每个算法独立运算30次。
结果显示如下：

函数：F1
GWO：best: 0,worst:0,mean:0,std:0
SCA：best: 1.2074e-07,worst:0.78621,mean:0.064539,std:0.18886
WOA：best: 7.9181e-169,worst:3.2697e-149,mean:1.148e-150,std:5.9669e-150
SMA：best: 0,worst:0,mean:0,std:0
函数：F2
GWO：best: 2.0369e-315,worst:1.2641e-189,mean:4.2135e-191,std:0
SCA：best: 9.6861e-08,worst:7.9582e-05,mean:9.8167e-06,std:1.5905e-05
WOA：best: 9.0857e-114,worst:6.2747e-104,mean:4.2066e-105,std:1.3224e-104
SMA：best: 0,worst:1.4897e-193,mean:4.9658e-195,std:0
函数：F3
GWO：best: 0,worst:0,mean:0,std:0
SCA：best: 28.0204,worst:12658.1217,mean:3151.4432,std:2934.3648
WOA：best: 754.6686,worst:42890.8096,mean:22061.4708,std:11158.2669
SMA：best: 0,worst:0,mean:0,std:0
函数：F4
GWO：best: 0,worst:3.2301e-181,mean:1.0767e-182,std:0
SCA：best: 1.479,worst:45.1446,mean:17.743,std:11.2051
WOA：best: 0.50087,worst:88.8509,mean:45.5944,std:30.4244
SMA：best: 0,worst:1.0959e-180,mean:3.6529e-182,std:0
函数：F5
GWO：best: 0.002612,worst:27.6362,mean:5.7737,std:10.8871
SCA：best: 28.0899,worst:3588.5641,mean:261.7717,std:718.9743
WOA：best: 26.5473,worst:28.5326,mean:27.1689,std:0.46015
SMA：best: 0.0010161,worst:27.287,mean:5.6596,std:10.9604
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结果表明，SMA算法具有良好的鲁棒性以及寻优精度。

三、参考文献

[1] Shimin Li, Huiling Chen, Mingjing Wang, et al. Slime mould algorithm: A new method for stochastic optimization[J]. Future Generation Computer Systems, 2020, 111: 300-323.