Games101学习笔记（一）_games101笔记

Games101学习笔记

第一部分：矩阵与变换

齐次坐标

为了将坐标的平移、旋转、缩放、投影等变换写成$A=M\times B$的形式，我们将空间（或平面）上点与向量的坐标扩展成如下形式：

• 点： $P=(x,y,z,1)$
• 向量：$\vec{v}=(x,y,z,0)$

其中点的坐标也可写为$(x,y,z,w)$，表示的点为$(x/w,y/w,z/w,1)$（显然要求$w\ne 0$）。

MVP变换

所谓MVP变换即在图形学中常用的Model、View、Projection变换。

如图，计算机内的物体要想显示到屏幕上，需要经历以下几个变换：

1. modeling transformation:
   将物体模型变换到某个世界坐标（world space）中去。
2. camera transformation:
   对所有物体进行一次变换，使得其上每个点的坐标$P$变为以摄像机为新坐标系下的坐标$P^{\prime }$
3. projection transformation:
   将摄像机视锥中的物体进行变换，达到近大远小的效果。
4. viewport transformation:
   将经过上述变换的物体投影到2D平面上进行显示。

Model变换

Model变换包含平移、旋转、缩放等操作。对于不同的物体，因为导入时的初始位置和在世界中放置的位置不同，相对应的Model变换也不相同。

我们可以将Model变换拆解成三种变换的组合（以3D为例）：

缩放

s c a l e = [ s 0 0 0 0 s 0 0 0 0 s 0 0 0 0 1 ] scale=

$$\begin{bmatrix}{s} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {s} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {s} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{bmatrix}$$ scale=⎣⎢⎢⎡​s000​0s00​00s0​0001​⎦⎥⎥⎤​

平移

t r a n s l a t i o n = [ 0 0 0 t x 0 0 0 t y 0 0 0 t z 0 0 0 1 ] translation=

$$\begin{bmatrix}{}{0} & {0} & {0} & {t_x} \\ {0} & {0} & {0} & {t_y} \\ {0} & {0} & {0} & {t_z} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{bmatrix}$$ translation=⎣⎢⎢⎡​0000​0000​0000​tx​ty​tz​1​⎦⎥⎥⎤​

旋转（逆时针）

x轴

R x ( α ) = [ 1 0 0 0 0 cos ⁡ ( α ) − sin ⁡ ( α ) 0 0 sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) 0 0 0 0 1 ] R_x(\alpha)=

$$\begin{bmatrix}{}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {\cos(\alpha)} & {-\sin(\alpha)} & {0} \\ {0} & {\sin(\alpha)} & {\cos(\alpha)} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{bmatrix}$$ Rx​(α)=⎣⎢⎢⎡​1000​0cos(α)sin(α)0​0−sin(α)cos(α)0​0001​⎦⎥⎥⎤​

y轴

R y ( α ) = [ cos ⁡ ( α ) 0 sin ⁡ ( α ) 0 0 1 0 0 − sin ⁡ ( α ) 0 cos ⁡ ( α ) 0 0 0 0 1 ] R_y(\alpha)=

$$\begin{bmatrix}{}{\cos(\alpha)} & {0} & {\sin(\alpha)} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {-\sin(\alpha)} & {0} & {\cos(\alpha)} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{bmatrix}$$ Ry​(α)=⎣⎢⎢⎡​cos(α)0−sin(α)0​0100​sin(α)0cos(α)0​0001​⎦⎥⎥⎤​

z轴

R z ( α ) = [ cos ⁡ ( α ) − sin ⁡ ( α ) 0 0 sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] R_z(\alpha)=

$$\begin{bmatrix}{}{\cos(\alpha)} & {-\sin(\alpha)} & {0} & {0} \\ {\sin(\alpha)} & {\cos(\alpha)} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{bmatrix}$$ Rz​(α)=⎣⎢⎢⎡​cos(α)sin(α)00​−sin(α)cos(α)00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​

任意过原点的轴$\vec{n}$

R ( n ⃗ , α ) = cos ⁡ α I ⃗ + ( 1 − cos ⁡ α ) n ⃗ n T ⃗ + sin ⁡ α [ 0 − n z n y n z 0 − n x − n y n x 0 ] R(\vec{n},\alpha) = \cos\alpha\vec{I} + (1-\cos\alpha)\vec{n}\vec{n^T}+\sin\alpha

$$\begin{bmatrix}0 & -n_z & n_y\\n_z & 0 & -n_x\\-n_y & n_x & 0\end{bmatrix}$$ R(n ,α)=cosαI +(1−cosα)n nT +sinα⎣⎡​0nz​−ny​​−nz​0nx​​ny​−nx​0​⎦⎤​

$M_{model}$矩阵由上述一个或多个矩阵复合（相乘）得到，注意矩阵相乘时实际变换顺序是从右到左。

Camera变换

一般将camera放置在世界坐标的原点，并且令其$\vec{g}$（gaze）方向与$-z$轴重合，$\vec{t}$（top）方向与$+y$轴重合。故camera变换一般分为两步：

1. 用平移变换将camera移动到原点。
2. 通过旋转变换令两者坐标系重合。

利用逆变换思想可以写出如下方程:
M c a m = [ u v w e 0 0 0 1 ] − 1 = [ x u y u z u 0 x v y v z v 0 x w y w z w 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − x e 0 1 0 − y e 0 0 1 − z e 0 0 0 1 ] M_{cam}=

$$\begin{bmatrix}\mathbf{u}&\mathbf{v}&\mathbf{w}&\mathbf{e}\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$ ^{-1} = $$\begin{bmatrix}x_u&y_u&z_u&0\\x_v&y_v&z_v&0\\x_w&y_w&z_w&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}1&0&0&-x_e\\0&1&0&-y_e\\0&0&1&-z_e\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$ Mcam​=[u0​v0​w0​e1​]−1=⎣⎢⎢⎡​xu​xv​xw​0​yu​yv​yw​0​zu​zv​zw​0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​−xe​−ye​−ze​1​⎦⎥⎥⎤​
其中用到了旋转矩阵是正交矩阵的性质，即$A^T=A^{-1}$

当用户或玩家移动自身位置、调整视口角度的时候，显示出的物体会实时变化，此变化即为$M_{cam}$矩阵改变并应用在所有物体上的结果。
实际上，当camera移动时，物体的坐标乘以$M_{cam}$矩阵之后改变的是物体的位置，可以理解为camera不动，所有的物体在向着指令相反的方向运动，导致在camera坐标系下观察像是自己在运动。

Projection变换

正交投影变换

为了后续viewport transformation的方便，我们需要把需要显示的部分用一个长方体包围起来，并将其压缩到以原点为几何中心，边长为2的正方体中。

运用平移和缩放变换，容易写出以下式子：
M o r t h = [ 2 r − l 0 0 − r + l r − l 0 2 t − b 0 − t + b t − b 0 0 2 n − f − n + f n − f 0 0 0 1 ] M_{orth}=

$$\begin{bmatrix}\frac{2}{r-l}&0&0&-\frac{r+l}{r-l}\\0&\frac{2}{t-b}&0&-\frac{t+b}{t-b}\\0&0&\frac{2}{n-f}&-\frac{n+f}{n-f}\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$ Morth​=⎣⎢⎢⎡​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​−r−lr+l​−t−bt+b​−n−fn+f​1​⎦⎥⎥⎤​

透视投影变换

如图，现实世界中我们的视野呈锥体状而非正交投影认为的长方体状，故透视投影看到的东西要比正交投影看到的东西多（越远物体越小，看到的物体数量越多）。

所以，要想在正交投影的基础上实现透视投影，就需要把透视投影可视部分多出来的那一块“压”进正交投影可视部分中去，然后再进行正交投影。

大致求解$M_{persp\to ortho}$过程如下。

最终$M_{persp}=M_{ortho}{M}_{persp\to ortho}$
（其中$M_{ortho}$中的参数与视角$\theta$以及屏幕长宽比$\omega$有关。）

Viewport变换

Viewport变换也称为视口变换，是将经过MVP变换后的可视部分（位于$[-1,1{]}^3$内）转换到2D屏幕所在范围内（$[0,width]\ast [0,height]$）。

即将位于原点的标准立方体先拉伸，再平移。得：
M v i e w p o r t = [ w i d t h 2 0 0 w i d t h 2 0 h e i g h t 2 0 h e i g h t 2 0 0 1 0 0 0 0 1 ] M_{viewport}=

$$\begin{bmatrix}\frac{width}{2}&0&0&\frac{width}{2}\\0&\frac{height}{2}&0&\frac{height}{2}\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$ Mviewport​=⎣⎢⎢⎡​2width​000​02height​00​0010​2width​2height​01​⎦⎥⎥⎤​