算法学习之Dijkstra(迪杰斯特拉)_迪杰斯特拉(dijkstra)

1、定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层扩展，知道扩展到终点为止。Dijkstra算法是具有代表性的最短路径算法，注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2、算法描述

1）算法思想：设 G=(V,E) 是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组。

第一组为以求出最短路径的顶点集合 (用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径，就将其加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中)；

第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组顶点加入S中。再加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

（1）初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为“起点s到该顶点的距离” 【例如：U中顶点v的距离 (s,v) 的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为正无穷】。

（2）从U中选出“距离最短的顶点k”, 并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。

（3）更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其他顶点的距离；【例如：(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离】

（4）重复（2）和（3），直到遍历完所有顶点。

步骤如下：

 

 

 

初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！
第1步：将顶点D加入到S中。
              S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。【注:C(3)表示C到起点D的距离是3。】

第2步：将顶点C加入到S中。
    上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
            S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(13),E(4),F(9),G(∞)}。 

第3步：将顶点E加入到S中。
    上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
          S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(13),F(6),G(12)}。 

第4步：将顶点F加入到S中。
          S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：将顶点G加入到S中。
         S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。