算法笔记：样条插值

1 什么是样条

• 样条来源于早期工程制图，为了将一些固定点连成一条光滑的曲线，采用具有弹性的木条固定在这些点上
• 通过样条画出来的曲线不仅经过各固定点，而且连续光滑
• 

2 样条函数

• 数学上定义成一个分段多项式函数
  • 每两个点之间用一个多项式来表示，这些多项式的阶数相同，但是系数是不一样的
  • 样条插值的目的就是求这些多项式系数，已知系数，那些中间点的值就能唯一确定了

3 样条插值原理 

• 连续
• 光滑
• 边界条件

下面以三次样条插值为例，假设是已知的n+1个数据点，整个函数有这4n个未知数组成

若想求得这4n个未知系数，需要构建4n个方程

3.1 连续

• 根据连续性原则，每个分段函数都经过其两侧端点
• 因此，可得到2n个方程：

3.2 光滑性原则

• 根据光滑性原则，相邻的两个分段函数连接处低阶导数相等
  • 对于三次样条来说，就是一阶导数和二阶导数

3.3 边界条件

• 目前一共4n-2个方程，不足以得到4n个系数的解
• 在公式(3)和(4)中，第1个点和第n+1个点在边界，只被使用了一次，导致整个方程组还差2个方程才能求解。
• 此时，可以假设不同的边界条件来构成4n个方程。
• 需要注意的是，不同的边界条件导致插值结果也有所不同。

参考内容：样条插值(Spline Interpolation)-云社区-华为云 (huaweicloud.com)