基于matlab的一维插值与三次样条插值_一维插值与线性插值

插值的定义

今天我们来谈谈数据插值以及它在matlab中的应用。

实际问题中观察到的数据点，譬如不同时间段的温度，湿度，在力的作用下物体的变形程度等，常常是客观的，真实发生的数据，具有客观世界的准确性，然而一般情况下无法满足我们建模的需要。

比如说，某观测站每隔半个小时测量一次外界温湿度并记录，一天二十四小时如下图所示（只列出一部分）。

但假如我们要分析早晨六点到八点的气温变化程度，仅有图表中的五个数据往往是不够的，又比如我们已经得到了步进为一分钟的湿度的详实数据，却无法与温度的少量数据相匹配，有没有一种办法，能科学的获取某一区间上的大量相关数据呢？

这里我们可以采用插值的方法。

插值，即是根据一组数据构造一个函数作为近似，当我们需要观察节点之间的函数值时，往往可以通过该构造函数来代替。

简单地说，就是根据已知数据点构建一个函数，使其能够很好地代替某一区间内未能观测的真实数据。

听起来是不是与函数拟合有点儿像呢？其实二者都是根据有限数据点，求近似函数，然而拟合不要求过已知数据点，只要求在某种意义下他在这些点上的总偏差是最小的。

分段线性插值与样条插值

分段线性插值，简单地说，就是把相邻节点用直线连接，所形成的直线就是分段线性插值函数，实际计算插值时，只用到了左右两个节点（两点成一条直线嘛），所以计算量与节点数n无关，但n越大，其误差越小。

分段线性插值在某些特殊函数，或统计学中的概率分布问题上有所应用，但直愣愣的线条在工程技术上想必是大煞风景了，如汽车车轮，飞机机翼，都对函数的光滑性有相当程度的要求，各位观众老爷也不希望看到温度预测表直接连线这么没技术含量吧。

那么，为了解决以上问题，样条插值应运而出，样条原本是工程设计中使用的一种绘图工具，是富有弹性的细木条或者细金属条，绘图员利用它们把一些已知点连成光滑的曲线，想想都很有画面感对不对，真的有那么丝滑吗？

MATLAB程序实现

废话不多说直接上代码。

// 
clear,clc 
x0 = [0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y0 = [0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];

t=0:0.1:15; 

%一维插值 
y2=interp1(x0,y0,t,'nearest');%最近项插值
Y2=interp1(x0,y0,t);%默认linear，线性插值 
subplot(2,2,1);
plot(t,y2)
legend('边条');
title('最近项插值');
legend('最近项');
subplot(2,2,2); 
plot(t,Y2);%画出曲线 
title('线性插值'); 
legend('线性');%显示图形图例 

%三次线条插值A 
pp1=csape(x0,y0);%默认的边界条件,即给定边界一阶导数 
y4=ppval(pp1,t); 
subplot(2,2,3);
plot(t,y4);%画出曲线 
title('三次线条插值A'); 
legend('一阶');

%三次线条插值B 
pp2=csape(x0,y0,'second');%给定边界二阶导数 
Y4=ppval(pp2,t); 

subplot(2,2,4); 
plot(t,Y4);%画出曲线 
title('三次线条插值B'); 
legend('二阶');
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比较结果如下。

可以明显看出，三次样条插值比较与分段线性插值更光滑，具有连续的曲率，这是由于其对边界导数的要求实现的。

想知道代码中参数的应用请点我.