逻辑回归（logistic regression）原理详解_逻辑回归的基本原理

机器学习解决的问题，大体上就是两种：数值预测和分类。前者一般采用的是回归模型，比如最常用的线性回归；后者的方法则五花八门，决策树，kNN，支持向量机，朴素贝叶斯等等模型都是用来解决分类问题的。其实，两种问题从本质上讲是一样的：都是通过对已有数据的学习，构建模型，然后对未知的数据进行预测，若是连续的数值预测就是回归问题，若是离散的类标号预测，就是分类问题。

这里面有一类比较特殊的算法，就是逻辑回归（logistic regression）。它叫“回归”，可见基本思路还是回归的那一套，同时，逻辑回归又是标准的解决分类问题的模型。换句话说，逻辑回归是用与回归类似的思路解决了分类问题。

1. 阶跃函数

现在有$n$个数据元组$\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$，每个数据元组对应了一个类标号$y_i$，同时每个数据元组$X_i$有$m$个属性$\{x_{i1}, x_{i2}, \dots, x_{im}\}$。假设现在面临的是一个简单的二分类问题，类标号有0，1两种。如果用简单的回归方法对已知数据进行曲线拟合的话，我们会得到如下的曲线方程（曲线拟合的方法后面会说到）：

$$\begin{equation} z = f(X) = w_0 + w_1x_1 + w_2x_2 + \dots + w_mx_m \end{equation}$$

注：并不是说逻辑回归只能解决二分类问题，但是用到多分类时，算法并没有发生变化，只是用的次数更多了而已。

实际上，逻辑回归分类的办法与SVM是一致的，都是在空间中找到曲线，将数据点按相对曲线的位置，分成上下两类。也就是说，对于任意测试元组$X^*$，$f(X^*)$可以根据其正负性而得到类标号。那换句话说，直接依靠拟合曲线的函数值是不能得到类标号的，还需要一种理想的“阶跃函数”，将函数值按照正负性分别映射为0，1类标号。这样的阶跃函数$\phi(z)$如下表示：

$$\begin{equation} \phi(z) = \left\{ \begin{aligned} 0, ~~~z < 0\\ 0.5, ~~~z = 0\\ 1, ~~~z > 0 \end{aligned} \right. \end{equation}$$

然而，直接这样设计阶跃函数不方便后面的优化计算，因为函数值不连续，无法进行一些相关求导。所以，逻辑回归中，大家选了一个统一的函数，也就是Sigmoid函数，如公式(1)所示：

$$\begin{equation} \phi(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \end{equation}\tag{1}$$

Sigmoid函数的图像如下图所示，当