优先队列式分支限界法解01背包_优先队列式分支限界法求解0-1背包问题时,计算结点上界值时所用算法思想

概念：

  分支限界采用的是广搜。

  优先队列采用的是队列里最优的出队。（这里采用最大堆来实现活结点优先队列，最大堆以活结点的界值作为优先级）

说明：

    对于优先队列式分支限界法解01背包，实际上是广搜遍历生成树的过程。因为01背包。背包只有选和不选。所以该生成树是一个二叉树。假设规定左叉标1（代表选择该物品装入背包），右叉标0（代表不选择该物品装入背包）。给定示例输入：

背包容量c=10

物品个数n=5

物品重量w={2，2，6，5，4}

物品价格p={6，3，5，4，6}

步骤：

    左子树的解的上界与父节点相同，不用计算。右子树的解的界值：较好的就算方法是将剩余物品依其单位重量价值排序，然后依次装入物品，直到装不下时，再装入该物品的一部分来装满背包。由此得到的价值是右子树中解的上界（尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界）。

1.排好序的情况：

物品重量w={2，2，4，6，5}

物品价格p={6，3，6，5，4}

2.一层一层的将活结点加入到活结点优先队列中：

说明：

    0.程序先是将1，2结点加入到队列中，由于1的界大于2的 界，所以选择1结点继续扩展（继续向下搜索）---进入到3，4结点的选择。由于父节点2没有出队。所以相继的5，6结点就被沉默掉了，故第二层只考虑3，4结点，3选择了2号物品后没有超重，4的界也大于当前背包的价格6+3=9.所以3，4都被加入到活结点，又由于3的界大于4的界，所以选择3作为扩展结点，继续向下进行扩展。。。。。。直到叶子结点。。。。程序结束

    1.该生成树中：只要左儿子结点没超重就把他加入到活结点优先队列中来。只要右儿子结点的界值大于当前背包的价值，就将右儿子结点也加入到活结点优先队列中来。当进入到下一层的搜索时，会从上一层的活结点队列中选择最优的那个结点（界值最大的）作为父节点（扩展结点）进行扩展，向下搜索。而上一层没有机会出队的活结点将暂时被沉默掉，等待出队的机会

   2.下面再附上MaxKanpsack（）函数的运行数据变化图。方便更快速的理解代码。

      注解：下图中：i=4，  a'''=add(14>10),add其实是addlivenode（）函数，这里的14表示当前结点下（选择1，2，3，4号物品后背包重量为14=2+2+4+6，明显大于了背包的重量10，所以a'''=add（）也应该划叉，即该结点被终结了，因为超重了。下文的i=5，a'''=add(13>10)分析同上。）

     各个节点界的计算：1结点：（6+3+6）+（10-2-2-4）*（5/6）=16.6666            

                                     2结点：（3+6）+（10-2-4）*（5/6）=12.3333         ...........................

                                     8结点：  （6+3）+（10-2-2）*（5/6）=14.00000

                                     16结点： （6+3+6）+（10-2-2-4）*（4/5）=16.60000

                                     34结点： （6+3+6）+（10-2-2-4）* 0=15

                                     左儿子结点的界不用算，直接继承父节点的界（左儿子的界=父节点的界）3结点的界=1结点的界=7结点的界=16.66

                    

过程说明：i=1时：第一层广搜：1和2结点作比较。由于1和2的界（16.6，12.3）都大于当前背包的价值6，故都加入活结点的优先队列中。又1的 界大于2的界，选择1作扩展结点（父节点）进入下一层。............

                i=3时，背包价格：15=6+3+6；而8号的界为14<15(8号界小于当前背包重量，不加入活结点优先队列中)，15号结点对应的背包重量是2+2+4+6=14>10(背包重量)，超重了。

代码如下：

#include<stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef int Typew;
//typedef int Typep;
//物品类
class Object{
	friend float Knapsack(Typew *, float *, Typew, int, int *);
    public:
	int operator <= (Object a) const{
      return (d >= a.d);
}
 
private:
	int ID; //物品编号
	float d; //单位重量价值
};
//树结点类
class bbnode{
	friend class Knap;
	friend float Knapsack(Typew *, float *, Typew, int, int *);
private:
	bbnode *parent; //指向父节点的指针
	int LChild; //如果是左儿子结点取1，也即说明该物品已装进背包
};
//堆结点类
class HeapNode{
	friend class Knap;
	friend class MaxHeap;
public:
	operator float()const{return uprofit;};
private:
	float uprofit, //结点的价值上界
		  profit; //结点所相应的价值
	Typew weight; //结点所相应的重量
	int level; //活结点在子集树中所处的层序号
	bbnode *elemPtr; //指向该活结点在子集树中相应结点的指针
};
//最大堆类
class MaxHeap{
public:
	MaxHeap(int maxElem)
	{
		HeapElem = new HeapNode* [maxElem+1]; //下标为0的保留
		capacity = maxElem;
		size = 0;
	}
	void InsertMax(HeapNode *newNode);
	HeapNode DeleteMax(HeapNode* &N);
private:
	int capacity;
    int size;
    HeapNode **HeapElem;
};
//0-1背包问题的主类
class Knap{
	//Knapsack主函数功能：解决初始化、求解最优值和最优解、回收内存
	friend float Knapsack(Typew *, float *, Typew, int, int *);
public:
	float MaxKnapsack();
private:
	MaxHeap *H;
	//Bound辅助Maxknapsack函数：计算结点价值上界
	float Bound(int i);
	//AddLiveNode辅助Maxknapsack函数：将活结点插入子集树和优先队列中
	void AddLiveNode(float up, float cp, Typew cw, int ch, int level);
	bbnode *E; //指向扩展结点的指针
	Typew c; //背包容量
	int n; //物品总数
	Typew *w; //物品重量数组（以单位重量价值降序）
	float *p; //物品价值数组（以单位重量价值降序）
	Typew cw; //当前装包重量
	float cp; //当前装包价值
	int *bestx; //最优解
};
//这是博客上大牛自己写的，原教材上没有
void MaxHeap::InsertMax(HeapNode *newNode)
{
	//极端情况下暂未考虑,比如堆容量已满等等
	int i = 1;
		for (i = ++size; i/2 > 0 && HeapElem[i/2]->uprofit < newNode->uprofit; i /= 2)
		{
			HeapElem[i] = HeapElem[i/2];
		}
		HeapElem[i] = newNode;
}
//这是博客上大牛自己写的，原教材上没有
HeapNode MaxHeap::DeleteMax(HeapNode *&N)
 
{
	//极端情况下暂未考虑
		if(size >0 )
		{
			N = HeapElem[1];
			//从堆顶开始调整
			int i = 1;
			while(i < size)
			{
	if(((i*2 +1) <= size) && HeapElem[i*2]->uprofit > HeapElem[i*2 +1]->uprofit)
				{
		HeapElem[i] = HeapElem[i*2];
            	i = i*2;
				}
            	else
				{
					if(i*2 <= size)
					{
                        	HeapElem[i] = HeapElem[i*2];
							i = i*2;
					}
					else
						break;
				}
			}
			if(i < size)
				HeapElem[i] = HeapElem[size];
		}
		size--;
		return *N;
}
float Knap::MaxKnapsack()
{
	H = new MaxHeap(1000);
	bestx = new int [n+1];
	//初始化,为处理子集树中的第一层做准备,物品i处于子集树中的第i层
	int i = 1; //生成子集树中的第一层的结点
	E = 0; //将首个扩展点设置为null，也就是物品1的父节点
	cw = 0;
	cp = 0;
	float bestp = 0; //当前最优值
    float up = Bound(1); // 选取物品1之后的价值上界
	//当选择左儿子结点时，上界约束up不用关心，重量约束wt需要考虑。因为上界约束跟父节点相同。
	//当选择右儿子结点时，上界约束up需要考虑，重量约束不需要考虑。因为父节点和该结点重量相同。
	while (i != n+1)
	{
		//检查当前扩展结点的左儿子结点
		int wi=w[i];
		int pi=p[i];
		int cp1=cp;
		int cw1=cw;
		int test=cw1+cp1;
		Typew wt = cw + w[i]; //当前选择物品i之后的总重量wt
		if(wt <= c) //背包能将物品i装下，也即当前扩展结点的左儿子结点可行
		{
			if(cp + p[i] > bestp)
				bestp = cp +pi;
				//bestp = cp + p[i]
			AddLiveNode(up, cp + p[i], cw + w[i], 1, i);
		}
        //检查当前扩展结点的右儿子结点
		up = Bound(i + 1); //未选择物品i之后的价值上界
		if(up >= bestp)
			AddLiveNode(up, cp, cw, 0, i);
		//从优先队列中选择价值上界最大的结点成为扩展结点
		HeapNode* N;
		H->DeleteMax(N);
		E = N->elemPtr;
		cw = N->weight;
		cp = N->profit;
		up = N->uprofit;
		i = N->level + 1; //准备生成N.level+1层的子集树结点
	}
	//从子集树中的某叶子结点开始构造当前最优解
    for (int i = n; i > 0; i--)
	{
	bestx[i] = E->LChild;
	E = E->parent;
	}
	return cp;
}
 
float Knap::Bound(int i)
{
	Typew cleft = c - cw;
	float b = cp;
	while (i<=n && w[i] <= cleft)
	{
	cleft -= w[i];
	b += p[i];
	i++;
	}
	if(i<=n) b += p[i]/w[i] * cleft;
    return b;
}
void Knap::AddLiveNode(float up, float cp, Typew cw, int ch, int level)
{
	bbnode *b=new bbnode;
    b->parent=E;
    b->LChild=ch;
	HeapNode *N = new HeapNode;
    N->uprofit=up;
    N->profit=cp;
    N->weight=cw;
    N->level=level;
	N->elemPtr=b;
	H->InsertMax(N);
  }
   //Knapsack返回最大价值，最优值保存在bestx
   float Knapsack(Typew *w, float *p, Typew c, int n, int *bestx)
   {//数组w、p和bestx中下标为0的元素保留不用
	//初始化
	Typew W = 0;
	float P = 0;
	Object *Q = new Object[n];
	for(int i =1; i<=n; i++)
	{
	Q[i-1].ID = i;
	Q[i-1].d = 1.0*p[i]/w[i];
	P += p[i];
		W += w[i];
	}
	//所有物品的总重量小于等于背包容量c
	if (W <= c)
	{
		for(int i =1; i<=n; i++)
	{
				bestx[i] = p[i];
		}
	return P;
	}
	//所有物品的总重量大于背包容量c,存在最佳装包方案
    //sort(Q,n);对物品以单位重量价值降序排序
	//1.对物品以单位重量价值降序排序
	//采用简单冒泡排序
	for(int i = 1; i<n; i++)
		for(int j = 1; j<= n-i; j++)
		{
			if(Q[j-1].d < Q[j].d)
			{
				Object temp = Q[j-1];
				Q[j-1] = Q[j];
				Q[j] = temp;
			}
		}
    //Knapsack主函数功能：解决初始化、求解最优值和最优解、回收内存
	Knap K;
	K.p = new float [n+1];
	K.w = new Typew [n+1];
	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		K.p[i] = p[Q[i-1].ID];//（以单位重量价值降序排序）
		K.w[i] = w[Q[i-1].ID];//（以单位重量价值降序排序）
	}
	K.cp = 0;
	K.cw = 0;
	K.c = c;
	K.n = n;
	//2.MaxKnapsack（）负责分支限界的搜索，并找出最优值------这是一个填二叉树的过程
	float bestp = K.MaxKnapsack();
	for(int i = 1; i<=n; i++)
	{
		bestx[Q[i-1].ID] = K.bestx[i];
	}
	delete [] Q;
	delete [] K.w;
	delete [] K.p;
	delete [] K.bestx;
	delete [] K.H;
	return bestp;
}
int main(int argc, char* argv[])
{
	const int N = 5;
        Typew c=10; //背包容量
	int bestx[N+1]; //最优解
	int bestp; //最优值
	//需要说明的是，这里的数组p[]和w[]的第一个元素是-1，这是因为我在操作过程中
	//都是从数组元素的1开始的，而我们知道数组中第一个元素是0号元素，所以我这里用-1填上
	Typew w[]={0,2,2,6,5,4};//物品重量
	float p[]={0,6,3,5,4,6};//物品价值
//排好序之后的：
//p【6，3，6，5，4】
//w【2，2，4，6，5】
	bestp = Knapsack(w, p, c, N, bestx);
	cout<<"物品总数N = "<< N<<",背包容量C = "<< c<<endl;
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		if(i ==1 ) cout<<"重量数组：";
		cout<<w[i];
		if(i != N) cout<<",";
		else
			cout<<endl;
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		if(i ==1 ) cout<<"价值数组：";
		cout<<p[i];
		if(i != N) cout<<",";
		else
			cout<<endl;
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		if(i ==1 ) cout<<"是否选取：";
		cout<<bestx[i];
		if(i != N) cout<<",";
		else
			cout<<endl;
 
	}
	cout<<"背包最优价值："<<bestp<<endl;
	system("pause");
	return 0;
}
 
 

上述代码对于w={3,4,5}    p={4,5,6}  c=6  执行的结果有误

再附上修正后的：

#ifndef BEIBAO_H
#define  BEIBAO_H
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;
//子空间中节点类型
class BBnode{
public:
	BBnode*  parent;   //父节点
	bool leftChild;   //左儿子节点标志
	BBnode(BBnode* par,bool ch){
		parent=par;
		leftChild=ch;
	}
	BBnode(){
 
	}
};
 
class HeapNode {
public:
	BBnode* liveNode; // 活结点
	double  upperProfit; //结点的价值上界
	double  profit; //结点所相应的价值
	double  weight; //结点所相应的重量
	int     level; // 活结点在子集树中所处的层次号
 
	//构造方法
	 HeapNode(BBnode* node, double up, double pp , double ww,int lev){
		liveNode = node;
		upperProfit = up;
		profit    = pp;
		weight    = ww;
		level    = lev;
	}
	 HeapNode(){
 
	 }
	 int compareTo(HeapNode o) {
		double xup =o.upperProfit;
		if(upperProfit < xup)
			return -1;
		if(upperProfit == xup)
			return 0;
		else
			return 1;
	}
};
 
class Element  {
public:
	int id;
	double d;
	Element(){
 
	}
	Element(int idd,double dd){
		id=idd;
		d=dd;
	}
	int compareTo(Element x){
		double xd=x.d;
		if(d<xd)return -1;
		if(d==xd)return 0;
		return 1;
	}
	 bool equals(Element x){
		return d==x.d;
	}
};
 
class MaxHeap{
public:
	 HeapNode *nodes;
	 int nextPlace;
	 int maxNumber;
	 MaxHeap(int n){
		maxNumber = pow((double)2,(double)n);
		nextPlace = 1;//下一个存放位置
		nodes = new HeapNode[maxNumber];
	}
	 MaxHeap(){
	 }
    void put(HeapNode node){
		nodes[nextPlace] = node;
		nextPlace++;
		heapSort(nodes);
	}
	HeapNode removeMax(){
		HeapNode tempNode = nodes[1];
		nextPlace--;
		nodes[1] = nodes[nextPlace];
		heapSort(nodes);
		return tempNode;
	}
	 void heapAdjust(HeapNode *  nodes,int s,int m){
		HeapNode rc = nodes[s];
		for(int j=2*s;j<=m;j*=2){
			if(j<m&&nodes[j].upperProfit<nodes[j+1].upperProfit)
				++j;
			if(!(rc.upperProfit<nodes[j].upperProfit))
				break;
			nodes[s] = nodes[j];
			s = j;
		}
		nodes[s] = rc;
	}
    void heapSort(HeapNode * nodes){
		for(int i=(nextPlace-1)/2;i>0;--i){
			heapAdjust(nodes,i,nextPlace-1);
		}
	}
} ;
 
#endif
 
//子空间中节点类型
 
double c=10;
const int n=5;
double *w;
double *p;
double cw;
double cp;
int    *bestX;
MaxHeap * heap;
 
 
//上界函数bound计算结点所相应价值的上界
 double bound(int i){
	double cleft=c-cw;
	double b=cp;
	while(i<=n&&w[i]<=cleft){
		cleft=cleft-w[i];
		b=b+p[i];
		i++;
	}
	//装填剩余容量装满背包
	if(i<=n)
		b=b+p[i]/w[i]*cleft;
	return b;
}
//addLiveNode将一个新的活结点插入到子集树和优先队列中
 void addLiveNode(double up,double pp,double ww,int lev,BBnode* par,bool ch){
	//将一个新的活结点插入到子集树和最大堆中
	BBnode *b=new BBnode(par,ch);
	HeapNode  node =HeapNode(b,up,pp,ww,lev);
	heap->put(node);
}
 double MaxKnapsack(){
	//优先队列式分支限界法，返回最大价值，bestx返回最优解
	BBnode * enode=new BBnode();
	int i=1;
	double bestp=0;//当前最优值
	double up=bound(1);//当前上界
	while(i!=n+1){//非叶子结点
		//检查当前扩展结点的左儿子子结点
		double wt=cw+w[i];
		if(wt<=c){
			if(cp+p[i]>bestp)
				bestp=cp+p[i];
			addLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],i+1,enode,true);
		}
		up=bound(i+1);
		if(up>=bestp)
			addLiveNode(up,cp,cw,i+1,enode,false);
		HeapNode node =heap->removeMax();
		enode=node.liveNode;
		cw=node.weight;
		cp=node.profit;
		up=node.upperProfit;
		i=node.level;
	}
	for(int j=n;j>0;j--){
 
		bestX[j]=(enode->leftChild)?1:0;
		enode=enode->parent;
	}
	return cp;
}
 
 
 double knapsack(double *pp,double *ww,double cc,int *xx){
	//返回最大值，bestX返回最优解
	c=cc;
	//n=sizeof(pp)/sizeof(double);
	//定义以单位重量价值排序的物品数组
	Element *q=new Element[n];
	double ws=0.0;
	double ps=0.0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		q[i]=Element(i+1,pp[i+1]/ww[i+1]);
		ps=ps+pp[i+1];
		ws=ws+ww[i+1];
	}
	if(ws<=c){
		return  ps;
	}
	p=new double[n+1];
	w=new double[n+1];
	for(int i=0;i<n;i++){
		p[i+1]=pp[q[i].id];
		w[i+1]=ww[q[i].id];
	}
	cw=0.0;
	cp=0.0;
	bestX = new int[n+1];
	heap = new MaxHeap(n);
	double bestp = MaxKnapsack();
	for(int j=0;j<n;j++)
		xx[q[j].id]=bestX[j+1];
 
	return  bestp;
 
}
 
int main(){
 
	//w=new double[4];
	double w[6]={0,2,2,6,5,4};
	 double p[6]={0,6,3,5,4,6};
	int *x = new int[4];
	double m = knapsack(p,w,c,x);
 
 
	cout<<"*****分支限界法*****"<<endl;
	cout<<"*****物品个数：n="<<n<<endl;
	cout<<"*****背包容量：c="<<c<<endl;
	cout<<"*****物品重量数组：w= {"<<w[3]<<" "<<w[1]<<" "<<w[2]<<"}"<<endl;
	cout<<"*****物品价值数组：v= {"<<p[3]<<" "<<p[1]<<" "<<p[2]<<"}"<<endl;
	cout<<"*****最优值：="<<m<<endl;
	cout<<"*****选中的物品是:";
	for(int i=1;i<=3;i++)
		cout<<x[i]<<" ";
	cout<<endl;
	return 0;
}

图片：