线性代数中的线性方程组_part1_线性方程组的解的三种情况

第一章      线性代数中的线性方程组

【Section】线性方程组

线性方程组是由一个或几个包含相同变量x₁,x₂,…,x_n的线性方程组成的。方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集。如果两个方程组有相同的解集，则它们称为等价的。

         线性方程组的解有下列三种情况：1.无解； 2.有唯一解； 3.有无穷多解；如果一个线性方程组有一个解或无穷多个解，我们称它是相容的；若它无解，称它是不相容的。

         解线性方程组的一般方法基本思路是把方程组用一个更容易解的等价方程组（即有相同解集）代替。

 

行初等变换： 1.（倍加变换）把某一行换成它本身与另一行的倍数和； 2.（对换变换）把两行对换；3.（倍乘变换）把某一行的所有元素乘以同一个非零数。

         若其中一个矩阵可以经一系列行初等变换成为另一个矩阵，我们称两个矩阵为行等价的。

线性方程组的一般解法依据是：若两个线性方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解集。

 

         矩阵的非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列；非零行的先导元素指该行中最左边的非零元素。

 

【Section】行化简与阶梯形矩阵

阶梯形具有以下三个性质：

1.      所有非零行在所有全零行的上面；

2.      某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右面；

3.      某一先导元素所在列的下方全是零。

简化阶梯形（或简化行阶梯形）还应满足以下性质：

1.      所有非零行的先导元素是1；

2.      每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素。

定理1：每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

         矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素的位置。主元列是A的含有主元位置的列。

         对应于主元列的变量称为基本变量，其他变量称为自由变量。

         我们总是约定使用自由变量作为参数来表示解集。

定理2：（存在与唯一性定理）线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如

的行，若线性方程组相容，它的解集可能有两种情形：(i)当没有自由变量时，有惟一解；(ii)若至少有一个自由变量，有无穷多解。

 

【Section】向量方程

         Rⁿ中的向量相等，当且仅当对应元素相等时。Rn中向量是实数的有序对。

         有时为了方便，我们把列向量  写成(3,-1)的形式。

R²的几何表示：考虑平面上的直角坐标系。因平面上每个点由实数的有序对确定，我们把几何点(a,b)与列向量等同。所以我们可把R²看着平面上所有点的集合。

【识记公式】Rn中向量的代数性质

对Rn中一切向量u,v,w以及标量c和d，

(i)                  u+v = v+u                                                           (v)  c(u + v) = c u+cv

(ii)                (u+v)+w =u+(v+w)                                          (vi) (c+d) u = c u +d u

(iii)               u+0 = 0+ u = u                                                   (vii)   c(d u) = (cd)( u)

(iv)               u +(- u) = - u +u =0                                          (viii)  1 u =u

 

给定Rn中向量v₁,v₂,…,v_p和标量c₁,c₂,…,c_p，向量

y = c₁v₁ + … + c_pv_p

称为向量v₁,v₂,…,v_p以c₁,c₂,…,c_p为权的线性组合。线性组合中的权可为任意实数，包括零。

 

【理解阐述】向量运算的图解

从下图我们可以看出：单个向量的线性组合构成了一条直线上的所有点；两个非比例向量的线性组合构成了平面空间中的所有点。

线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合{v₁,v₂,…,v_p}的线性组合的所有向量。

 

【定义】若v₁,v₂,…,v_p是Rⁿ中的向量，则v₁,v₂,…,v_p的所有线性组合所成的集合用记号Span{v₁,v₂,…,v_p}表示，称为由所生成（或张成）的Rⁿ的子集，也就是说，Span{v₁,v₂,…,v_p}是所有形如

C₁v₁+ c₂v₂ + … + c_pv_p

的向量的集合，其中c₁,c₂,…,c_p为标量。

 

要判断向量b是否属于Span{v₁,v₂,…,v_p}，就是判断向量方程

x₁v₁+ x₂v₂+ … + x_pv_p =b

是否有解，或等价地，判断增广矩阵为[v₁ v₂ … x_p b]的线性方程是否有解。

 

Span{v}与Span{u,v}的几何解释

  设v是R³中的向量，那么Span{v}就是v的所有数量倍数的集合，也就是通过v和0的直线上的所有点的集合，见下图。

  若u和v是R³中的非零向量，v不是u的倍数，则是R³中通过u,v和0的平面，特别地，包含R³通过u与0的直线，也包含通过v与0的直线。

【Section】矩阵方程Ax =b

线性代数中的一个基本思想是把向量的线性组合看作矩阵与向量的积。

【定义】若A是mXn矩阵，它的各列为a₁,…,a_n。若x是Rⁿ中向量，则A与x的积，记为Ax，就是A的各列以x中对应元素为权的线性组合，即

注意Ax仅当A的列数等于x中元素个数时才有定义。

 

【Section】线性方程组的解集

  若线性方程可以写成Ax=0的形式，则它称为齐次的。这样的方程组至少有一个解，即x=0（Rⁿ中的零向量），这个解称为它的平凡解。对于给定方程Ax=0，重要的是它是否有非平凡解，即满足Ax=0的非零向量x。

齐次方程Ax=0有非平凡解，当且仅当方程至少有一个自由变量。

 

下列的线性方程称为隐式描述，解此方程就是要找显式描述。

上面的形式称为参数向量方程，有时也写为x = su + tv (s,t为实数)。当解集用向量显式表示，我们称之为参数向量方程。

【理解阐述】为了从几何上描述Ax=b的解集，我们可以把向量加法解释为平移，给定R²或R³中的向量v与p，把p加上v的结果就是把v沿着平行于通过p与0的直线移动，我们称v被平移p到v+p。对于Ax=b的解集

x=p+tv (t为实数)

tv可以看着上面描述的直线L，下面是图形解释。