大白话5分钟带你走进人工智能-第37节神经网络之反向传播详细案例及解释(5)_reversemodeautodiff

目录

1、反向传播前述：

2、第一个案例解说反向传播：

3、通用案例形式：

4、逻辑回归案例：

5、总结：

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1、反向传播前述：

我们知道正向传播就是把x拿下来一层层的和w乘，然后经过function非线性变化，最后得到一个y输出结果。反向传播(reverse-mode autodiff)就是反过来，从最后的y到x，反向的自动求导。前向传播是make predictions，去预测ŷ，然后计算出误差，再计算出每个神经节点对误差的贡献。这里的求贡献就是反向传播过程，首先根据前向传播的误差来求梯度，梯度越大贡献越大。然后根据梯度调整原来的权重。总结下来反向传播就是求导、求梯度，然后根据梯度在迭代里面调整w的一个过程。

反向自动求导是tensorflow实现的方案，首先，它执行图的前向阶段，从输入到输出，去计算节点值；然后反向阶段，从输出到输入去计算所有变量的偏导。

什么是偏导数：在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

说白了就是假如f对x求偏导：∂f*∂x。就是把除x以外的自变量当成常数，然后再进行正常的求导即可。

2、第一个案例解说反向传播：

比如

                                                                                 

这个计算逻辑，即这个算法。可以用如图来表达正向传播和反向传播逻辑。图中红色虚线表示正向传播，黑色实线是反向传播。

如果x=3，y=4，正向传播之后，结果为42，体现在n7节点上。

那反向传播是做什么事情呢？怎样传播？ 如何计算每根线上面的梯度呢？

这里依赖反向自动求导(reverse-mode autodiff)，求解的想法是逐渐的从上往下，来计算f(x,y)的偏导，使用每一个中间连续的节点，直到我们达到变量节点，这里严重依赖链式求导法则。

链式求导法则，就是x不能直接连接f，我们通过一个中间的节点，比如ni，如果ni可以连接f，就可以让f对ni求偏导；然后x可以连接ni，ni对xi求偏导，然后根据链式求导法则相乘，得到的就是f对x求偏导的一个值。

                                                                                       

比如上图中的算法逻辑我们最终的f对x来求偏的， f是最后节点出现的结果，x是第一个节点，中间有好长的路要走。所以如果对x求偏导的话，得把每一步节点输出对x求偏导。n1节点没有直接连上n7节点， n1节点也没有直接连上n5节点，但是n1节点可以连上n4节点；n4节点连不上n7节点，但是能连接n5节点。那么我们可以让xn1通过n4去连接n5，然后再通过n5连接到n7，它就成为一条链，求这条链上面的导数，最后就可以把n7对n1也就是f对x偏导求出来。

因为最后的function，对x求偏导，不能直接对x求导，我们倒过来一点点来推，所以它叫反向传播，反过来一点点的去传播梯度。

接下来我们一层一层的解释。

对于f来说，f就是n7的结果，所以f对n7求导。因为是对本身求导，相当于f(x)=x这种情况下，对x求导，结果就变成前面的一个系数，等于1。

下一层，我们要求图中红色这根线上所对应的梯度

这根线的输出是n5节点，所以就要求一下n7对n5节点function的一个偏导，根据链式法则，如图，把它俩的结果相乘。f对n7这一部分已经得到了结果，n7节点的function是加和，n7=n5+n6，如果n7对n5求偏导，结果就是1。可以这样理解这一步，比如f(x)=ax+by，对x求导，那跟b、y没有关系，只用看x前面所对应的斜率，就等于a，这里同样只看n5前面的系数即为1。记住：

对谁求偏导，就把谁看做未知数。其他的都是常数！

∂f/∂n5=∂f*∂n7*∂n7/∂n5，就是1*1=1，所以图中这根红线上的梯度就是1。此时我们有一个中间结果，

接下来再往下来传播。求如下红色线的梯度：

即求∂f/∂n4，等于∂f/∂n5*∂n5/∂n4，上一步求出来的∂f/∂n5=1，接着计算∂n5/∂n4，n5的计算节点的function是，乘法。n5=n4*n2，对n4求偏导，把n4当做未知数，n2为系数，所以结果是n2。同理，反过来，对n2求偏导结果n4。然后把n2节点的数值4代进来，即∂f/∂n4=1*4=4。

再往下传播：求图中红色线梯度

即∂f/∂x，这里有两根线，根据上面传播下来的梯度，那∂f/∂x=∂f/∂n4*∂n4/∂n1，∂f/∂n4已经根据前面算出来的逻辑，∂f/∂n4=4，下面求∂n4/∂n1，∂n4/∂n1看n4节点的function逻辑。此时n4=n1*n1=n1^2。因为（x^2)'=2x，所以∂n4/∂n1=2n1=6。所以∂f/∂x=∂f/∂n4*∂n4/∂n1=4*6=24。

下面求f对y的梯度，y就是n2，如图，因为y是有两条线连接，先求下图左边的梯度：

n2上面连接n5，那么梯度∂f/∂n2=∂f/∂n5*∂n5/∂n2，∂f/∂n5=1(上面已经求出)，∂n5/∂n2这部分看n5的逻辑是n5=n4*n2，对n2求偏导结果为n4。n4不用算，因为在正向传播的时候，每个节点的值已经算出来了，所以n4是3^2=9。即∂n5/∂n2=9。所以∂f/∂n2=∂f/∂n2=∂f/∂n5*∂n5/∂n2=1*9=9。

然后再求y连线的右半部分如图：

n7经过n6再连接n2，那么∂n7/∂n2=∂n7/∂n6*∂n6/∂n2，∂n7/∂n6看n7的逻辑n7=n5+n6，对n6求偏导结果为1；∂n6/∂n2看n6的逻辑n6=n2+n3，对n2求偏导也是1。所以∂n7/∂n2=1*1=1。

所以最后∂f/∂y=∂f/∂n2+∂nf/∂n2=1+9=10。

我们再看下f对n3的梯度：

其实我们也不用算这根线，换成机器学习的角度去看，n1是第一个维度x1，n2是第而个维度x2，n3是截距，对截距求偏导，把n3看做未知数，前面系数恒为1 。所以对截距求偏导结果恒为1。

反向传播，如果想求每根线上所对应的梯度，得从后面往前，反着一层层的推出来，才能推出来。这样沿着图一路向下，我们可以计算出所有连线梯度，最后就能计算出??/ ?x = 24， ?? /?y = 10。

同理那我们就可以利用和上面类似的方式方法去计算?cost/?w，如下看一个通用的损失函数对参数求梯度的过程。

3、通用案例形式：

抛开具体的实例，我们看下通用的神经元的求导，如图：

这是一个神经元，里面有∑加和，还有f激活函数。正向传播会求得相对应的结果z，一直传播会得到Loss损失；如果我们想要知道最右边红色这根线上面的梯度，就是∂L/∂z求得一个结果。再往前反着推，想知道x这根线上所对应的梯度，用∂L/∂x，根据链式求导法则，先要得到∂L/∂z，然后再得到∂z /∂x ，此时∂L/∂x即已经求得；∂z /∂x 这一部分要看前面的逻辑是什么。

4、逻辑回归案例：

一个神经元分为两部分，一部分是加和∑，一部分是f激活函数，前面有很多的输入x1，x2，x0恒为1，x1对应w1，x2对应w2，x0对应w3，然后它们相乘相加，如果f是Sigmoid函数的话，经过相乘相加得到f(w，x)。加和∑和 function两个逻辑。

算法逻辑用图的方式表达出来如下：

如果正向传播，w0和x0相乘，w1和x1相乘。绿色数字为传入的值，比如w0=2，x0=-1，w0*x0结果为-2；w1=-3，x1=-2，结果为6；w与x相乘完之后，还有加和的节点，加和之后再加上偏距w2，结果为1，即z算出来为1。之后要带到Sigmoid函数里面去，首先坐变化-z，即z乘以(-1)=-1然后经过e^-z，即e^-1=0.37，然后分母+1，0.37+1=1.37，然后求倒数，1/1.37=0.73。

所以在x1=-2；x2=-1；x0=1； w2=2；w1=-3；w0=-3的数值下，相当于给了x输入和w，经过相乘相加之后，再经过Sigmoid函数计算，得到结果0.73。0.73的这个输出结果，很有可能再往下去传递，变成下一个神经元的输入。

我们的目标是调整参数w1，w2，w0，因此需要求出梯度g1，g2，g0。所以我们要算g1=∂L/∂w1，g2=∂L/∂w2，g0=∂L/∂w0。

怎么反向求梯度g？首先得知道L走一条线是什么样的如图，反向传播的线路图（也就是图中蓝色的线）。

假设神经元的输出0.73就是终点，如果我们假设输出不是终点的话，我们就没法知道这根线上的梯度是多少，就没法往回去传。

最后一根线的梯度相当于对自己求导，它的梯度就是1。我们要求g0，g2，g1，即求在w它们线上所对应的g0，g1，g2。

根据前面描述最后结节对本身求梯度相当于对自己求导，所以梯度是1，从后往前传播。那么∂f/∂n6=∂n7/∂n6 * ∂f/∂n7，∂f/∂n7=1，∂n7/∂n6这部分要看n7的计算逻辑是1/x，(1/x)'=-1/x^2，相当于n6是x，因为n6是1.37，那么∂n7/∂n6=-1/(1.37)^2=-0.53。

接着n5到n6这条线上的梯度，就是∂f/∂n5=∂n6/∂n5 * ∂f/∂n6，∂f/∂n6这一部分刚刚求得是-0.53，∂n6/∂n5看n6的计算逻辑f(x)=x+1，求导结果为1。那么∂f/∂n5=1*(-0.53)=-0.53。

接着求n4到n5这个线上的梯度，∂f/∂n4=∂n5/∂n4 * ∂f/∂n5，∂f/∂n5这一部分刚刚求得是-0.53，∂n5/∂n4看n5的计算逻辑是exp，f(x)'=(e^x)'=ex，n4的输出-1作为x，所以∂f/∂n4=e^-1*0.53=1/e *(-0.53)=-0.2。

然后求n4到n3这个线上的梯度，∂f/∂n3=∂f/∂n4 * ∂n4/∂n3，∂f/∂n4刚求得是-0.2，∂n4/∂n3看n4的计算逻辑是f(x)=-x，求导是-1，所以∂n4/∂n3=-1。那么∂f/∂n3=-0.2*(-1)=0.2。

然后求梯度g2，即n3和w2的连线。∂f/∂w2=∂f/∂n3 * ∂n3/∂w2，∂f/∂n3等是0.2，∂n3/∂w2看n3的逻辑为加和，w2前面系数为1，所以∂n3/∂w2=1，那么g0=∂f/∂w2=0.2*1=0.2。

 g2求出来了，怎么用 梯度下降调整w2？

用梯度下降的公式，w2^(t+1)=w2^t-α*g2，α学习率，是传进来的超参数，比如学习率是0.01，g2是0.2，那么得到新w2^(t+1)=-3.002，它会影响正向传播每条线上绿色数值，之后它又会影响下次反向传播的梯度。

接下来调整w0。w0这部分是*的一个门操作：

f(a,b)=a*b，对a求导结果是b，对b求导结果是a。那么∂f/∂w0=0.2 * ∂w0*x2/∂w0，x0=-1，那么∂f/∂w0=-0.2。

之后按照公式，w0^(t+1)=w0^t-α*g0=2-0.01*(-0.2)=2.002，就是w0经过一次迭代调整之后的结果。

x0前的梯度，因为它是*，跟w0有关系，所以梯度就是0.2*2=0.4。

接下来调节w1。

计算逻辑是*，那么g1=x1*0.2=-2*0.2=-0.4。调w1：w1^t+1=w1^t-α*g1=-3+0.01*0.4=-2.996，是w1经过一次迭代调整之后的结果。x1前的梯度，和w1有关系，那么-3*0.2=-0.6。

现在我们得到图上每个线所对应的梯度，我们需要调的是w2所对的线g2、w1所对得线g1、w0所对得线g0；我们不用调x2，x1两根线上的梯度，因为每一次迭代的时候，传的都是原始的那份数据。也就是说我们调的是w，然后调完之后，下一次再把原始的的数据代进来，然后再正向传播，求这一路所有的绿色的数值。然后反向传播，再来调w，然后再把x带进来，循环往复。

这就是梯度下降反向传播的流程。它每一次迭代内部就是一个正向传播，求绿色的值，一次反向传播，求红色的梯度，然后在内部根据最优解的公式调w，不同的最优解的求法，公式就不一样，但是不管什么方法，都要去求梯度。这个就是神经网络里面的反向传播，虽然以后写代码不需要自己去算，也不用去画图，它会自动帮你求导，但是要知道它自动求导数是怎样去求的。

假设1/x输出的结果就是最终的结果了，它求出来的梯度是1。但实际上做机器学习的话，Sigmoid函数出的结果不是咱们想象的，它输出的值相当于ŷ。也就是说我们还得根据 ŷ 和真实的y再去求一个损失函数，损失函数不管是交叉熵还是mse，你还得画这样一个传播图， 0.73还没有完，还得再往后去，如果是mse的话，就用预测的0.73跟真实的相减，然后再汇总，计算function函数。

举个例子，比如后面是交叉熵，那ŷ还要经过节点log，然后再接一个节点去乘以真实的y，后面还得再去加和，最后输出的L才是Loss function。

这里x2，x1是一个样本求梯度，如果去做批量梯度下降的时候，损失函数是mse，它的公式是：

                                                                             

前面计算的x2,x1相当于批量梯度下降样本里的一条，而随机梯度下降需要m个样本，都来去算总的损失，因为这里用了一个加和，所以求它整体梯度的时候，需要求每一条样本梯度的加和平均。

比如如果function函数是ax+by，如果对x求导，就看ax这一部分的导数，如果对y求导 ，只考虑by这一部分的导数，加和∑相当于把它俩导数再加和求平均，也就是相当于是每个样本求梯度的一个平均值。

5、总结：

反向传播和梯度下降这两个词，第一眼看上去似懂非懂，不明觉厉。这两个概念是整个神经网络中的重要组成部分，是和误差函数/损失函数的概念分不开的。

神经网络训练的最基本的思想就是：先“蒙”一个结果，我们叫预测结果h，看看这个预测结果和事先标记好的训练集中的真实结果y之间的差距，然后调整策略，再试一次，这一次就不是“蒙”了，而是有依据地向正确的方向靠近。如此反复多次，一直到预测结果和真实结果之间相差无几，亦即|h-y|->0，就结束训练。这里面不断地调整策略就是其背后的原理就是反向传播和梯度下降。

在神经网络训练中，我们把“蒙”叫做初始化，可以随机，也可以根据以前的经验给定初始值。即使是“蒙”，也是有技术含量的。