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主要从以下三个方面介绍:
- 什么是线性矩阵不等式(LMI)
- 为什么要用线性矩阵不等式(LMI)
- 线性矩阵不等式的发展(控制系统中)
如名字所示线性矩阵不等式三要素为:
LMI的一般形式可以表示为[2]:
L
(
X
)
=
D
T
X
+
X
T
D
+
∑
i
=
1
l
(
E
i
T
X
F
i
+
F
i
T
X
T
E
i
)
+
Q
<
0
L(X) = D^TX+X^TD+\sum_{i=1}^l(E_i^TXF_i+F_i^TX^TE_i)+Q < 0
L(X)=DTX+XTD+i=1∑l(EiTXFi+FiTXTEi)+Q<0
其中,
X
n
×
n
∈
R
m
×
n
X^{n×n}\in \mathbb{R}^{m×n}
Xn×n∈Rm×n是矩阵变量,
D
,
E
i
∈
R
m
×
n
,
F
i
∈
R
n
×
n
,
i
=
1
,
2
,
…
,
l
.
D,E_{i}\in\mathbb{R}^{m\times n},F_{i}\in\mathbb{R}^{n\times n},i=1,2,\ldots,l.
D,Ei∈Rm×n,Fi∈Rn×n,i=1,2,…,l. 是任意矩阵,
Q
∈
S
n
Q\in\mathbb{S}^{n}
Q∈Sn是对称矩阵。
式中, D T X + X T D , E i T X F i + F i T X T E i , Q D^TX+X^TD,E_i^TXF_i+F_i^TX^TE_i,Q DTX+XTD,EiTXFi+FiTXTEi,Q保证了 L ( X ) L(X) L(X)的线性和对称性;通过选择合适的矩阵 X X X使得 L ( X ) L(X) L(X)是负定的。
当
X
=
P
=
P
T
,
D
=
A
,
F
i
=
E
i
=
0
X=P=P^T,D=A,F_i=E_i=0
X=P=PT,D=A,Fi=Ei=0时,LMI一般形式可以转化为Lyapunov LMI:
L
(
P
)
=
A
T
P
+
P
T
A
+
Q
<
0
L(P) = A^TP+P^TA+Q < 0
L(P)=ATP+PTA+Q<0
对于控制系统来说,当存在一个正定矩阵 P P P,使得上式成立时,则系统时稳定的。
Lyapunov LMI的最初解法为,通过选择调整正定矩阵 Q Q Q,求解Lyapunov方程 A T P + P A = − Q A^TP+PA=-Q ATP+PA=−Q来求解矩阵 P P P;
LMI的标准形式为[2]:
A
(
x
)
=
A
0
+
x
1
A
1
+
⋅
⋅
⋅
+
x
n
A
n
<
0
A(x) = A_0 + x_1A_1 + \cdot\cdot\cdot+x_nA_n < 0
A(x)=A0+x1A1+⋅⋅⋅+xnAn<0
其中,
x
i
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
x_i,i=1,2,\ldots,n
xi,i=1,2,…,n是未知标量,称为决策变量。
A
i
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
A_i,i=1,2,\ldots,n
Ai,i=1,2,…,n是已知对称矩阵。
选择标量 x i x_i xi使得上式成立;
例: 让
x
1
,
x
2
∈
R
x_1,x_2\in\mathbb{R}
x1,x2∈R,
A
(
x
)
=
A
0
+
A
1
x
1
+
A
2
x
2
,
A\left(x\right)=A_0+A_1x_1+A_2x_2,
A(x)=A0+A1x1+A2x2,
其中,
A
0
=
[
1
0
0
−
1
]
,
A
1
=
[
−
1
−
1
−
1
4
]
,
A
2
=
[
−
1
1
1
−
2
]
.
A_0=
带入可得
A
(
x
)
=
[
1
−
x
1
−
x
2
−
x
1
+
x
2
−
x
1
+
x
2
−
1
+
4
x
1
−
2
x
2
]
,
A\left(x\right)=
A
(
x
)
<
0
A(x)<0
A(x)<0等价于
{
1
−
x
1
−
x
2
<
0
,
det
[
1
−
x
1
−
x
2
−
x
1
+
x
2
−
x
1
+
x
2
−
1
+
4
x
1
−
2
x
2
]
=
−
5
x
1
2
+
5
x
1
+
x
2
2
−
x
2
−
1
>
0.
{
−
1
+
x
1
+
x
2
>
0
(
x
2
−
5
x
1
+
5
−
1
2
)
(
x
2
+
5
x
1
−
5
+
1
2
)
>
0.
根据上式可得
(
x
1
,
x
2
)
(x_1,x_2)
(x1,x2)取值范围为,下图所示公共部分。
让标准形式中
A
i
,
i
=
1
,
.
.
.
,
n
A_i,i=1,...,n
Ai,i=1,...,n 为一般形式中
P
P
P的基底,则
P
P
P可表示为
P
=
A
0
+
x
1
A
1
+
⋅
⋅
⋅
+
x
n
A
n
P = A_0 + x_1A_1 + \cdot\cdot\cdot+x_nA_n
P=A0+x1A1+⋅⋅⋅+xnAn。定义
T
i
=
A
T
A
i
+
A
i
T
A
,
T_i = A^TA_i+A_i^TA,
Ti=ATAi+AiTA,带入到标准形式中,则可将一般形式转化为标准形式
L
(
P
)
=
T
0
+
∑
i
=
1
n
x
i
T
i
L(P) = T_0+\sum_{i=1}^nx_iT_i
L(P)=T0+i=1∑nxiTi
在分析与设计控制系统中的优点[2]
全局优化解及数值可靠性
- LMIs 的形式是一种凸约束形式,因此有全局最优解
- 可以得到可靠和有效的数值解
- 规模很大也可以求解
能够进行系统的多目标设计
- 通过将系统不同性能要求,转化为LMI组形式,共同求解LMIs,实现系统多目标设计
成熟的工具包可以使用
- MATLAB LMI toolbox;(后面介绍这个)
- YALMIP;(可以参考文献[3])
- CVX;(没用过不太清楚)
数值可靠性重要性!
数值可靠性可分为
- good-conditioned problems (e.g. 奇异值分解),无论怎么分解都可以保证数值的精度。
- ill-conditioned problems (e.g. 矩阵求逆),矩阵求逆,如果条件数很大,求的矩阵的逆精度会受到损失。
例:给定以下单输入基准系统
x ˙ = A x + B u \dot x = Ax + Bu x˙=Ax+Bu
其中
A = [ 20 20 19 ⋱ ⋱ 20 1 ] , B = [ 1 0 ⋮ 0 ] \left.A=\left[\right.\right],B=\left[202019⋱⋱201 \right] A= 202019⋱⋱201 ,B= 10⋮0 10⋮0
配置系统极点 p = [ − 1 ± i , − 2 ± i , − 3 ± i , − 4 ± i , − 5 ± i , − 6 ± i , − 7 ± i , − 8 ± i , − 9 ± i , − 10 ± i ] p = [-1\pm i,-2\pm i,-3\pm i,-4\pm i,-5\pm i, -6\pm i,-7\pm i,-8\pm i,-9\pm i ,-10\pm i] p=[−1±i,−2±i,−3±i,−4±i,−5±i,−6±i,−7±i,−8±i,−9±i,−10±i]使用matlab place 命令得到的结果为:
452.58+0i , -3.5361+48.266i , -3.536148.266i -7.8615+21.439i , -7.8615-21.439i , − 8.7621 + 11.15i − 8.7621 − 11.15i , -9.0799+4.9281i , -9.0799-4.9281i -9.1658+0i , 19+0i , 18+0i 17+0i , 16+0i , 15+0i 14+0i , 13+0i , 12+0i 11+0i452.58+0i, -7.8615+21.439i, −8.7621−11.15i, -9.1658+0i, 17+0i, 14+0i, 11+0i-3.5361+48.266i, -7.8615-21.439i, -9.0799+4.9281i, 19+0i, 16+0i, 13+0i, -3.536148.266i−8.7621+11.15i-9.0799-4.9281i18+0i15+0i12+0i452.58+0i, -7.8615+21.439i, −8.7621−11.15i, -9.1658+0i, 17+0i, 14+0i, 11+0i-3.5361+48.266i, -7.8615-21.439i, -9.0799+4.9281i, 19+0i, 16+0i, 13+0i, -3.536148.266i−8.7621+11.15i-9.0799-4.9281i18+0i15+0i12+0i
从上可以看出place算法在一些时候并不能保证数值稳定性
凸优化问题 = 凸指标+凸约束
{
min
f
0
(
x
)
s.t.
f
i
(
x
)
≤
0
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
A
x
=
b
其中
f
i
,
i
=
0
,
1
,
.
.
.
,
m
f_i,i=0,1,...,m
fi,i=0,1,...,m是一组凸函数,等式约束必须是仿射结构(线性的)。
目标函数,是凸函数;不等式约束是凸集;等式约束时仿射的;则称此优化问题为凸优化问题。
凸函数
f
(
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
)
≤
θ
f
(
x
)
+
(
1
−
θ
)
f
(
y
)
f(\theta x+(1-\theta)y)\leq \theta f(x)+(1-\theta)f(y)
f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)
其中,
θ
∈
[
0
,
1
]
,
x
,
y
∈
Ω
\theta\in[0,1],x,y\in \Omega
θ∈[0,1],x,y∈Ω,
Ω
\Omega
Ω是一个凸集。
简单描述,函数图像上任取两点连线的中点,大于此函数任取两点对应的自变量的中点的函数值,则此函数为凸函数。
凸集
如果
x
,
y
∈
F
,
0
≤
θ
≤
1
x,y\in \mathbb{F},0\leq \theta \leq1
x,y∈F,0≤θ≤1,且
θ
x
1
+
(
1
−
θ
)
x
2
∈
F
\theta x_1+ (1-\theta)x_2 \in \mathbb{F}
θx1+(1−θ)x2∈F
则称
F
\mathbb{F}
F是一个凸集。
简单描述,集合中任取两点连成的线段,若线段上所有的点都包含的集合里面则集合是凸集。
含有LMI的优化问题
{
min
f
0
(
x
)
s.t.
x
∈
{
x
∣
A
(
x
)
<
0
}
∩
F
A
(
x
)
<
0
A(x)<0
A(x)<0 是LMI,且
F
\mathbb{F}
F是一个凸集。
涉及LMI的三个标准问题
大多数问题都可以转化为标准问题
可行性问题
找到一个解
x
∈
R
n
x\in\mathbb{R}^n
x∈Rn满足如下LMI:
A
(
x
)
<
B
(
x
)
A(x)<B(x)
A(x)<B(x)
当把 B ( x ) B(x) B(x)移动到不等式左边,令 F i = A i − B i , i = 0 , 1 , 2... , n F_i = A_i-B_i,i=0,1,2...,n Fi=Ai−Bi,i=0,1,2...,n,可以将上述LMI转化为标准LMI: F ( x ) < 0 F(x)<0 F(x)<0;
上述问题可以利用,MATLAB LMI Toolbox中 feasp 命令求解。
feasp 求解的时以下的带有LMI的辅助凸优化问题
{ min t s.t. A ( x ) < B ( x ) + t I{min ts.t. A(x)<B(x)+tI{min ts.t. A(x)<B(x)+tI
根据矩阵特征值特性 λ max ( A ) < t ⟺ A − t I < 0 \lambda_{\text{max}}(A)<t \iff A-tI<0 λmax(A)<t⟺A−tI<0;上式表示为使得矩阵 A ( x ) − B ( x ) A(x)-B(x) A(x)−B(x)的特征值全小于 t t t,即矩阵为负定。因此,只有凸优化问题(22) t < 0 t<0 t<0时,存在严格可行解 x x x,使得矩阵 A ( x ) − B ( x ) < 0 A(x)-B(x)<0 A(x)−B(x)<0,使得 A ( x ) < B ( x ) A(x)<B(x) A(x)<B(x)成立。
凸最小化问题
给一个凸函数
f
(
x
)
f(x)
f(x),找到一个解
x
∈
R
n
x\in\mathbb{R}^n
x∈Rn满足以下带有LMI约束的最小化问题
{
min
f
(
x
)
s.t.
A
(
x
)
<
B
(
x
)
MATLAB LMI Toolbox中 mincx 命令求解
{ min c T x s.t. L ( x ) < R ( x ){min cTxs.t. L(x)<R(x){min cTxs.t. L(x)<R(x)
广义特征值问题
找到以下最小化问题的解
x
∈
R
n
x\in\mathbb{R}^n
x∈Rn
{
min
λ
s.t.
A
(
x
)
<
λ
B
(
x
)
B
(
x
)
>
0
C
(
x
)
>
0
MATLAB LMI Toolbox中 gevp 命令求解
mincx 和 gevp 区别?凸最小化问题和广义特征值问题区别?
播种期(1890)
根源:求解一个正定矩阵 P P P使得 A T P + P A < 0 A^TP+PA<0 ATP+PA<0成立,保证线性系统 x ˙ ( t ) = A x ( t ) \dot x(t) =A x(t) x˙(t)=Ax(t)是渐进稳定的;
解决方法:Lyapunov通过选择一个正定矩阵 Q Q Q,通过求解Lyapunov方程 A T P + P A = − Q A^TP+PA=-Q ATP+PA=−Q,来显示求解 P P P矩阵。
生根期(1940-1970)
将李亚普诺夫LMI问题应用在实际的应用中;
提出了应用图形方法求解LMI;
成长期(1970-2000)
正实引理 —— 将很多问题转化为LMI形式
凸优化算法应用 —— 为LMI求解提供了成熟的求解工具
繁荣期(2000-现在)
在鲁棒控制等领域应用很广;
[1] Duan, G.-R., & Yu, H.-H. (2013). LMIs in Control Systems: Analysis, Design and Applications (1st ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/b15060, PDF:library.lol/main/1D9AAC1BED0618920BBED953215695E2 学习视频:https://www.bilibili.com/video/BV1jt411U7xj?p=1
[2] K.-Z. Liu and Y. Yao, Robust Control: Theory and Applications. Hoboken, NJ, USA: Wiley, 2016.
[3] 刘金琨. 基于 LMI 的控制系统设计, 分析及 MATLAB 仿真[M]. 清华大学出版社, 2020.
1BED0618920BBED953215695E2](http://library.lol/main/1D9AAC1BED0618920BBED953215695E2) 学习视频:https://www.bilibili.com/video/BV1jt411U7xj?p=1
[2] K.-Z. Liu and Y. Yao, Robust Control: Theory and Applications. Hoboken, NJ, USA: Wiley, 2016.
[3] 刘金琨. 基于 LMI 的控制系统设计, 分析及 MATLAB 仿真[M]. 清华大学出版社, 2020.
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