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线性矩阵不等式(LMI)(一):简单介绍

线性矩阵不等式

线性矩阵不等式(LMI)(一):简单介绍

主要从以下三个方面介绍:

  1. 什么是线性矩阵不等式(LMI)
  2. 为什么要用线性矩阵不等式(LMI)
  3. 线性矩阵不等式的发展(控制系统中)

1. 线性矩阵不等式

如名字所示线性矩阵不等式三要素为:

  • 线性 - 注意双线性时,LMI不好求解(非凸问题);例:在不等式中出现 P A K PAK PAK形式,其中 P , K P,K P,K都为未知变量;可以利用消元法/换元法[1]转化为LMI形式;
  • 矩阵变量 - 可以表示成一般形式/标准形式
  • 不等号 - 表示矩阵的正定/负定,而不是大小关系;
1.1 一般形式
  • LMI的一般形式可以表示为[2]:
    L ( X ) = D T X + X T D + ∑ i = 1 l ( E i T X F i + F i T X T E i ) + Q < 0 L(X) = D^TX+X^TD+\sum_{i=1}^l(E_i^TXF_i+F_i^TX^TE_i)+Q < 0 L(X)=DTX+XTD+i=1l(EiTXFi+FiTXTEi)+Q<0
    其中, X n × n ∈ R m × n X^{n×n}\in \mathbb{R}^{m×n} Xn×nRm×n是矩阵变量, D , E i ∈ R m × n , F i ∈ R n × n , i = 1 , 2 , … , l . D,E_{i}\in\mathbb{R}^{m\times n},F_{i}\in\mathbb{R}^{n\times n},i=1,2,\ldots,l. D,EiRm×n,FiRn×n,i=1,2,,l. 是任意矩阵, Q ∈ S n Q\in\mathbb{S}^{n} QSn是对称矩阵。

    式中, D T X + X T D , E i T X F i + F i T X T E i , Q D^TX+X^TD,E_i^TXF_i+F_i^TX^TE_i,Q DTX+XTD,EiTXFi+FiTXTEi,Q保证了 L ( X ) L(X) L(X)的线性和对称性;通过选择合适的矩阵 X X X使得 L ( X ) L(X) L(X)是负定的。

    • X = P = P T , D = A , F i = E i = 0 X=P=P^T,D=A,F_i=E_i=0 X=P=PT,D=A,Fi=Ei=0时,LMI一般形式可以转化为Lyapunov LMI
      L ( P ) = A T P + P T A + Q < 0 L(P) = A^TP+P^TA+Q < 0 L(P)=ATP+PTA+Q<0

      对于控制系统来说,当存在一个正定矩阵 P P P,使得上式成立时,则系统时稳定的。

      Lyapunov LMI的最初解法为,通过选择调整正定矩阵 Q Q Q,求解Lyapunov方程 A T P + P A = − Q A^TP+PA=-Q ATP+PA=Q来求解矩阵 P P P;

1.2 标准形式
  • LMI的标准形式为[2]:
    A ( x ) = A 0 + x 1 A 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + x n A n < 0 A(x) = A_0 + x_1A_1 + \cdot\cdot\cdot+x_nA_n < 0 A(x)=A0+x1A1++xnAn<0
    其中, x i , i = 1 , 2 , … , n x_i,i=1,2,\ldots,n xi,i=1,2,,n是未知标量,称为决策变量 A i , i = 1 , 2 , … , n A_i,i=1,2,\ldots,n Ai,i=1,2,,n是已知对称矩阵。

    选择标量 x i x_i xi使得上式成立;

    • 例: 让 x 1 , x 2 ∈ R x_1,x_2\in\mathbb{R} x1,x2R,
      A ( x ) = A 0 + A 1 x 1 + A 2 x 2 , A\left(x\right)=A_0+A_1x_1+A_2x_2, A(x)=A0+A1x1+A2x2,
      其中, A 0 = [ 1 0 0 − 1 ] , A 1 = [ − 1 − 1 − 1 4 ] , A 2 = [ − 1 1 1 − 2 ] . A_0=

      [1001]
      ,\quad A_1=
      [1114]
      ,\quad A_2=
      [1112]
      . A0=[1001],A1=[1114],A2=[1112].

      带入可得
      A ( x ) = [ 1 − x 1 − x 2 − x 1 + x 2 − x 1 + x 2 − 1 + 4 x 1 − 2 x 2 ] , A\left(x\right)=

      [1x1x2x1+x2x1+x21+4x12x2]
      , A(x)=[1x1x2x1+x2x1+x21+4x12x2],
      A ( x ) < 0 A(x)<0 A(x)<0等价于
      { 1 − x 1 − x 2 < 0 , det ⁡ [ 1 − x 1 − x 2 − x 1 + x 2 − x 1 + x 2 − 1 + 4 x 1 − 2 x 2 ] = − 5 x 1 2 + 5 x 1 + x 2 2 − x 2 − 1 > 0.
      {1x1x2<0,det[1x1x2x1+x2x1+x21+4x12x2]=5x12+5x1+x22x21>0.
      1x1x2<0,det[1x1x2x1+x2x1+x21+4x12x2]=5x12+5x1+x22x21>0.

      { − 1 + x 1 + x 2 > 0 ( x 2 − 5 x 1 + 5 − 1 2 ) ( x 2 + 5 x 1 − 5 + 1 2 ) > 0.

      {1+x1+x2>0(x25x1+512)(x2+5x15+12)>0.
      {1+x1+x2>0(x25 x1+25 1)(x2+5 x125 +1)>0.

      根据上式可得 ( x 1 , x 2 ) (x_1,x_2) (x1,x2)取值范围为,下图所示公共部分。
      在这里插入图片描述

1.3 二者关系
  • 让标准形式中 A i , i = 1 , . . . , n A_i,i=1,...,n Ai,i=1,...,n 为一般形式中 P P P的基底,则 P P P可表示为 P = A 0 + x 1 A 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + x n A n P = A_0 + x_1A_1 + \cdot\cdot\cdot+x_nA_n P=A0+x1A1++xnAn。定义 T i = A T A i + A i T A , T_i = A^TA_i+A_i^TA, Ti=ATAi+AiTA带入到标准形式中,则可将一般形式转化为标准形式
    L ( P ) = T 0 + ∑ i = 1 n x i T i L(P) = T_0+\sum_{i=1}^nx_iT_i L(P)=T0+i=1nxiTi

    • 例:根据Lyapunov稳定理论,二维线性系统
      x ˙ ( t ) = A x ( t ) , x ( 0 ) ≠ 0 \dot x(t) = A x(t) , x(0)\neq 0 x˙(t)=Ax(t),x(0)=0
      稳定的充要条件是,存在满足不等式
      A T P + P A < 0 A^TP+PA<0 ATP+PA<0
      的正定阵 P = P T ∈ R 2 × 2 P=P^{T}\in\mathbb{R}^{2\times2} P=PTR2×2。这里,2 × 2的对称阵 P P P有以下对称基底
      P 1 = [ 1 0 0 0 ] , P 2 = [ 0 1 1 0 ] , P 3 = [ 0 0 0 1 ] \left.P_{1}=\left[
      1000
      \right.\right],P_{2}=\left[
      0110
      \right],P_{3}=\left[
      0001
      \right]
      P1=[1000],P2=[0110],P3=[0001]

      通过利用这些对称基底,* P P P*可写为
      P = [ x 1 x 2 x 2 x 3 ] = x 1 P 1 + x 2 P 2 + x 3 P 3 \left.P=\left[
      x1x2x2x3
      \right.\right]=x_1P_1+x_2P_2+x_3P_3
      P=[x1x2x2x3]=x1P1+x2P2+x3P3

      将其带入(6)可得
      A P + P A T = x 1 ( A P 1 + P 1 A T ) + x 2 ( A P 2 + P 2 A T ) + x 3 ( A P 3 + P 3 A T ) < 0 AP+PA^T=x_1(AP_1+P_1A^T)+x_2(AP_2+P_2A^T)+x_3(AP_3+P_3A^T)<0 AP+PAT=x1(AP1+P1AT)+x2(AP2+P2AT)+x3(AP3+P3AT)<0

2. 线性矩阵不等式的优点

在分析与设计控制系统中的优点[2]

  • 全局优化解及数值可靠性

    • LMIs 的形式是一种凸约束形式,因此有全局最优解
    • 可以得到可靠和有效的数值解
    • 规模很大也可以求解
  • 能够进行系统的多目标设计

    • 通过将系统不同性能要求,转化为LMI组形式,共同求解LMIs,实现系统多目标设计
  • 成熟的工具包可以使用

    • MATLAB LMI toolbox;(后面介绍这个)
    • YALMIP;(可以参考文献[3])
    • CVX;(没用过不太清楚)

数值可靠性重要性!

  • 数值可靠性可分为

    • good-conditioned problems (e.g. 奇异值分解),无论怎么分解都可以保证数值的精度。
    • ill-conditioned problems (e.g. 矩阵求逆),矩阵求逆,如果条件数很大,求的矩阵的逆精度会受到损失。
  • 例:给定以下单输入基准系统
    x ˙ = A x + B u \dot x = Ax + Bu x˙=Ax+Bu
    其中
    A = [ 20 20 19 ⋱ ⋱ 20 1 ] , B = [ 1 0 ⋮ 0 ] \left.A=\left[

    202019201
    \right.\right],B=\left[
    100
    \right] A= 202019201 ,B= 100
    配置系统极点 p = [ − 1 ± i , − 2 ± i , − 3 ± i , − 4 ± i , − 5 ± i , − 6 ± i , − 7 ± i , − 8 ± i , − 9 ± i , − 10 ± i ] p = [-1\pm i,-2\pm i,-3\pm i,-4\pm i,-5\pm i, -6\pm i,-7\pm i,-8\pm i,-9\pm i ,-10\pm i] p=[1±i,2±i,3±i,4±i,5±i,6±i,7±i,8±i,9±i,10±i]

    使用matlab place 命令得到的结果为:
    452.58+0i ,   -3.5361+48.266i ,   -3.536148.266i -7.8615+21.439i ,   -7.8615-21.439i ,   − 8.7621 + 11.15i − 8.7621 − 11.15i ,   -9.0799+4.9281i ,   -9.0799-4.9281i -9.1658+0i ,   19+0i ,   18+0i 17+0i ,   16+0i ,   15+0i 14+0i ,   13+0i ,   12+0i 11+0i

    452.58+0i, -3.5361+48.266i, -3.536148.266i-7.8615+21.439i, -7.8615-21.439i, 8.7621+11.15i8.762111.15i, -9.0799+4.9281i, -9.0799-4.9281i-9.1658+0i, 19+0i, 18+0i17+0i, 16+0i, 15+0i14+0i, 13+0i, 12+0i11+0i
    452.58+0i, -7.8615+21.439i, 8.762111.15i, -9.1658+0i, 17+0i, 14+0i, 11+0i-3.5361+48.266i, -7.8615-21.439i, -9.0799+4.9281i, 19+0i, 16+0i, 13+0i, -3.536148.266i8.7621+11.15i-9.0799-4.9281i18+0i15+0i12+0i
    从上可以看出place算法在一些时候并不能保证数值稳定性

2.1 LMI 是一个凸集
  • 凸优化问题 = 凸指标+凸约束
    { min   f 0 ( x ) s.t.   f i ( x ) ≤ 0 , i = 1 , 2 , . . . , m A x = b

    {min  f0(x)s.t.  fi(x)0,i=1,2,...,mAx=b
    min  f0(x)s.t.  fi(x)0,i=1,2,...,mAx=b
    其中 f i , i = 0 , 1 , . . . , m f_i,i=0,1,...,m fi,i=0,1,...,m是一组凸函数,等式约束必须是仿射结构(线性的)。

    目标函数,是凸函数;不等式约束是凸集;等式约束时仿射的;则称此优化问题为凸优化问题。

  • 凸函数
    f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≤ θ f ( x ) + ( 1 − θ ) f ( y ) f(\theta x+(1-\theta)y)\leq \theta f(x)+(1-\theta)f(y) f(θx+(1θ)y)θf(x)+(1θ)f(y)
    其中, θ ∈ [ 0 , 1 ] , x , y ∈ Ω \theta\in[0,1],x,y\in \Omega θ[0,1],x,yΩ, Ω \Omega Ω是一个凸集。

    简单描述,函数图像上任取两点连线的中点,大于此函数任取两点对应的自变量的中点的函数值,则此函数为凸函数。

  • 凸集

    如果 x , y ∈ F , 0 ≤ θ ≤ 1 x,y\in \mathbb{F},0\leq \theta \leq1 x,yF0θ1,且
    θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ F \theta x_1+ (1-\theta)x_2 \in \mathbb{F} θx1+(1θ)x2F
    则称 F \mathbb{F} F是一个凸集。

    简单描述,集合中任取两点连成的线段,若线段上所有的点都包含的集合里面则集合是凸集。

  • 含有LMI的优化问题
    { min   f 0 ( x ) s.t.   x ∈ { x ∣ A ( x ) < 0 } ∩ F

    {min  f0(x)s.t.  x{x|A(x)<0}F
    {min  f0(x)s.t.  x{xA(x)<0}F
    A ( x ) < 0 A(x)<0 A(x)<0 是LMI,且 F \mathbb{F} F是一个凸集。

    • 当目标函数 f 0 ( x ) f_0(x) f0(x)是凸函数时,此优化问题是凸优化问题;
      • A ( x ) ≤ 0 A(x)\leq 0 A(x)0是一个凸集(利用凸集定义可证明)。
  • 涉及LMI的三个标准问题

    大多数问题都可以转化为标准问题

    • 可行性问题

      找到一个解 x ∈ R n x\in\mathbb{R}^n xRn满足如下LMI:
      A ( x ) < B ( x ) A(x)<B(x) A(x)<B(x)

      当把 B ( x ) B(x) B(x)移动到不等式左边,令 F i = A i − B i , i = 0 , 1 , 2... , n F_i = A_i-B_i,i=0,1,2...,n Fi=AiBi,i=0,1,2...,n,可以将上述LMI转化为标准LMI: F ( x ) < 0 F(x)<0 F(x)<0;

      上述问题可以利用,MATLAB LMI Toolbox中 feasp 命令求解。

      feasp 求解的时以下的带有LMI的辅助凸优化问题
      { min   t s.t.   A ( x ) < B ( x ) + t I

      {min  ts.t.  A(x)<B(x)+tI
      {min  ts.t.  A(x)<B(x)+tI
      根据矩阵特征值特性 λ max ( A ) < t    ⟺    A − t I < 0 \lambda_{\text{max}}(A)<t \iff A-tI<0 λmax(A)<tAtI<0;上式表示为使得矩阵 A ( x ) − B ( x ) A(x)-B(x) A(x)B(x)的特征值全小于 t t t,即矩阵为负定。因此,只有凸优化问题(22) t < 0 t<0 t<0时,存在严格可行解 x x x,使得矩阵 A ( x ) − B ( x ) < 0 A(x)-B(x)<0 A(x)B(x)<0,使得 A ( x ) < B ( x ) A(x)<B(x) A(x)<B(x)成立。

    • 凸最小化问题

      给一个凸函数 f ( x ) f(x) f(x),找到一个解 x ∈ R n x\in\mathbb{R}^n xRn满足以下带有LMI约束的最小化问题
      { min   f ( x ) s.t.   A ( x ) < B ( x )

      {min  f(x)s.t.  A(x)<B(x)
      {min  f(x)s.t.  A(x)<B(x)

      MATLAB LMI Toolbox中 mincx 命令求解
      { min   c T x s.t.   L ( x ) < R ( x )

      {min  cTxs.t.  L(x)<R(x)
      {min  cTxs.t.  L(x)<R(x)

    • 广义特征值问题

      找到以下最小化问题的解 x ∈ R n x\in\mathbb{R}^n xRn
      { min   λ s.t.   A ( x ) < λ B ( x ) B ( x ) > 0 C ( x ) > 0

      {min  λs.t.  A(x)<λB(x)B(x)>0C(x)>0
      min  λs.t.  A(x)<λB(x)B(x)>0C(x)>0

      MATLAB LMI Toolbox中 gevp 命令求解

    mincx 和 gevp 区别?凸最小化问题和广义特征值问题区别?

3. 线性矩阵不等式的发展

在这里插入图片描述

  • 播种期(1890)

    根源:求解一个正定矩阵 P P P使得 A T P + P A < 0 A^TP+PA<0 ATP+PA<0成立,保证线性系统 x ˙ ( t ) = A x ( t ) \dot x(t) =A x(t) x˙(t)=Ax(t)是渐进稳定的;

    解决方法:Lyapunov通过选择一个正定矩阵 Q Q Q,通过求解Lyapunov方程 A T P + P A = − Q A^TP+PA=-Q ATP+PA=Q,来显示求解 P P P矩阵。

  • 生根期(1940-1970)

    将李亚普诺夫LMI问题应用在实际的应用中;

    提出了应用图形方法求解LMI;

  • 成长期(1970-2000)

    正实引理 —— 将很多问题转化为LMI形式

    凸优化算法应用 —— 为LMI求解提供了成熟的求解工具

  • 繁荣期(2000-现在)

    在鲁棒控制等领域应用很广;

参考文献

[1] Duan, G.-R., & Yu, H.-H. (2013). LMIs in Control Systems: Analysis, Design and Applications (1st ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/b15060, PDF:library.lol/main/1D9AAC1BED0618920BBED953215695E2 学习视频:https://www.bilibili.com/video/BV1jt411U7xj?p=1

[2] K.-Z. Liu and Y. Yao, Robust Control: Theory and Applications. Hoboken, NJ, USA: Wiley, 2016.

[3] 刘金琨. 基于 LMI 的控制系统设计, 分析及 MATLAB 仿真[M]. 清华大学出版社, 2020.

1BED0618920BBED953215695E2](http://library.lol/main/1D9AAC1BED0618920BBED953215695E2) 学习视频:https://www.bilibili.com/video/BV1jt411U7xj?p=1

[2] K.-Z. Liu and Y. Yao, Robust Control: Theory and Applications. Hoboken, NJ, USA: Wiley, 2016.

[3] 刘金琨. 基于 LMI 的控制系统设计, 分析及 MATLAB 仿真[M]. 清华大学出版社, 2020.

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