数据结构与算法（二）：数组与链表_数组与链表教学设计

参考引用

• Hello 算法
• Github：hello-algo

1. 数组

• 数组（array）是一种线性数据结构，其将相同类型元素存储在连续的内存空间中。将元素在数组中的位置称为该元素的索引（index）
  

1.1 数组常用操作

1.1.1 初始化数组

• 根据需求选用数组的两种初始化方式：无初始值、给定初始值
  • 在未指定初始值的情况下，大多数编程语言会将数组元素初始化为 0

  // 存储在栈上
  int arr[5];
  int nums[5] { 1, 3, 2, 5, 4 };
  // 存储在堆上（需要手动释放空间）
  int* arr1 = new int[5];
  int* nums1 = new int[5] { 1, 3, 2, 5, 4 };
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1.1.2 访问元素

• 数组元素被存储在连续的内存空间中，给定数组内存地址（即首元素内存地址）和某个元素的索引，可以使用下图所示的公式计算得到该元素的内存地址，从而直接访问此元素
  • 索引的含义本质上是内存地址的偏移量，首个元素的地址偏移量是 0
  • 在数组中访问元素非常高效，可以在 O(1) 时间内随机访问数组中的任意一个元素

  /* 随机访问元素 */
  int randomAccess(int *nums, int size) {
      // 在区间 [0, size) 中随机抽取一个数字
      int randomIndex = rand() % size;
      // 获取并返回随机元素
      int randomNum = nums[randomIndex];
      return randomNum;
  }
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1.1.3 插入元素

• 数组元素在内存中是 “紧挨着的”，它们之间没有空间再存放任何数据。如下图所示，如果想要在数组中间插入一个元素，则需要将该元素之后的所有元素都向后移动一位，之后再把元素赋值给该索引

  /* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
  void insert(int *nums, int size, int num, int index) {
      // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
      for (int i = size - 1; i > index; i--) {
          nums[i] = nums[i - 1];
      }
      // 将 num 赋给 index 处元素
      nums[index] = num;
  }
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1.1.4 删除元素

• 若想要删除索引 i 处的元素，则需要把索引 i 之后的元素都向前移动一位

  /* 删除索引 index 处元素 */
  void remove(int *nums, int size, int index) {
      // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
      for (int i = index; i < size - 1; i++) {
          nums[i] = nums[i + 1];
      }
  }
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数组的插入与删除操作有以下缺点，建议使用 vector

• 时间复杂度高：数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 O(n)，其中 n 为数组长度
• 丢失元素：由于数组的长度不可变，因此在插入元素后，超出数组长度范围的元素会丢失
• 内存浪费：可以初始化一个比较长的数组，只用前面一部分，这样在插入数据时，丢失的末尾元素都是 “无意义” 的，但这样做也会造成部分内存空间的浪费

1.1.5 遍历数组

• 既可以通过索引遍历数组，也可以直接遍历获取数组中的每个元素

  void traverse(int *nums, int size) {
      int count = 0;
      // 通过索引遍历数组
      for (int i = 0; i < size; i++) {
          count++;
      }
  }
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1.1.6 查找元素

• 在数组中查找指定元素需要遍历数组，每轮判断元素值是否匹配，若匹配则输出对应索引。因为数组是线性数据结构，所以上述查找操作被称为 “线性查找”

  /* 在数组中查找指定元素 */
  int find(int *nums, int size, int target) {
      for (int i = 0; i < size; i++) {
          if (nums[i] == target)
              return i;
      }
      return -1;
  }
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1.2 数组优缺点

• 优点

  • 空间效率高: 数组为数据分配了连续的内存块，无须额外的结构开销
  • 支持随机访问: 数组允许在 O(1) 时间内访问任何元素
  • 缓存局部性: 当访问数组元素时，计算机不仅会加载它，还会缓存其周围的其他数据，从而借助高速缓存来提升后续操作的执行速度

• 缺点

  • 插入与删除效率低：当数组中元素较多时，插入与删除操作需要移动大量的元素。
  • 长度不可变: 数组在初始化后长度就固定了，扩容数组需要将所有数据复制到新数组，开销很大
  • 空间浪费: 如果数组分配的大小超过了实际所需，那么多余的空间就被浪费了

1.3 数组典型应用

• 随机访问、排序和搜索、查找表、机器学习、数据结构实现

2. 链表

内存空间是所有程序的公共资源，在一个复杂系统运行环境下，空闲的内存空间可能散落在各处。存储数组的内存空间必须是连续的，而当数组非常大时，内存可能无法提供如此大的连续空间，此时链表的灵活性优势就被体现

• 链表（linked list）是一种线性数据结构，其中的每个元素都是一个节点对象，各个节点通过指针相连接，指针记录了下一个节点的内存地址，通过它可以从当前节点访问到下一个节点
  • 链表的设计使得各个节点可以被分散存储在内存各处，它们的内存地址是无须连续的

• 链表的组成单位是节点（node）对象。每个节点都包含两项数据：节点的 “值” 和指向下一节点的指针

  • 链表的首个节点被称为 “头节点”，最后一个节点被称为 “尾节点”
  • 尾节点指向的是 “空” nullptr

• 链表节点 ListNode 除了包含值，还需额外保存一个指针。因此在相同数据量下，链表比数组占用更多的内存空间

  /* 链表节点结构体 */
  struct ListNode {
      int val;         // 节点值
      ListNode *next;  // 指向下一节点的指针
      ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}  // 构造函数
  };
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2.1 链表常用操作

2.1.1 初始化链表

• 建立链表分为两步
  • 第一步是初始化各个节点对象
  • 第二步是构建引用指向关系
    • 初始化完成后，就可以从链表的头节点出发，通过引用指向 next 依次访问所有节点

  /* 初始化链表 1 -> 3 -> 2 -> 5 -> 4 */
  // 初始化各个节点（通常将头节点当作链表的代称）
  ListNode* n0 = new ListNode(1);
  ListNode* n1 = new ListNode(3);
  ListNode* n2 = new ListNode(2);
  ListNode* n3 = new ListNode(5);
  ListNode* n4 = new ListNode(4);
  
  // 构建引用指向
  n0->next = n1;
  n1->next = n2;
  n2->next = n3;
  n3->next = n4;
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数组整体是一个变量，比如数组 nums 包含元素 nums[0] 和 nums[1] 等，而链表是由多个独立的节点对象组成的

2.1.2 插入节点

• 假设想在相邻的两个节点 n0 和 n1 之间插入一个新节点 P，只需改变两个节点指针即可，时间复杂度为 O(1)

  相比之下，在数组中插入元素的时间复杂度为 O(n)，在大数据量下的效率较低

  /* 在链表的节点 n0 之后插入节点 P */
  void insert(ListNode *n0, ListNode *P) {
      ListNode *n1 = n0->next;
      P->next = n1;
      n0->next = P;
  }
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2.1.3 删除节点

• 只需改变一个节点的指针即可
  • 尽管在删除操作完成后节点 P 仍然指向 n1，但实际上遍历此链表已经无法访问到 P ，这意味着 P 已经不再属于该链表

  /* 删除链表的节点 n0 之后的首个节点 */
  void remove(ListNode *n0) {
      if (n0->next == nullptr)
          return;
      // n0 -> P -> n1
      ListNode *P = n0->next;
      ListNode *n1 = P->next;
      n0->next = n1;
      // 释放内存
      delete P;
  }
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2.1.4 访问节点

• 在链表访问节点的效率较低
  • 如上节所述，可以在 O(1) 时间下访问数组中的任意元素
  • 链表则不然，程序需要从头节点出发，逐个向后遍历，直至找到目标节点。也就是说，访问链表的第 i 个节点需要循环 i - 1 轮，时间复杂度为 O(n)

  /* 访问链表中索引为 index 的节点 */
  ListNode *access(ListNode *head, int index) {
      for (int i = 0; i < index; i++) {
          if (head == nullptr)
              return nullptr;
          head = head->next;
      }
      return head;
  }
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2.1.5 查找节点

• 遍历链表，查找链表内值为 target 的节点，输出节点在链表中的索引，此过程也属于线性查找

  /* 在链表中查找值为 target 的首个节点 */
  int find(ListNode *head, int target) {
      int index = 0;
      while (head != nullptr) {
          if (head->val == target)
              return index;
          head = head->next;
          index++;
      }
      return -1;
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2.2 数组与链表对比

2.3 常见链表类型

• 单向链表：即上述介绍的普通链表。单向链表的节点包含值和指向下一节点的引用两项数据
  • 将首个节点称为头节点，将最后一个节点称为尾节点，尾节点指向空
• 环形链表：如果令单向链表的尾节点指向头节点（即首尾相接），则得到一个环形链表
  • 在环形链表中，任意节点都可以视作头节点
• 双向链表：与单向链表相比，双向链表记录了两个方向的指针
  • 双向链表的节点定义同时包含指向后继节点（下一个节点）和前驱节点（上一个节点）的指针
  • 相较于单向链表，双向链表更具灵活性，可以朝两个方向遍历链表，但相应地也需要占用更多的内存空间

2.4 链表典型应用

• 单向链表通常用于实现栈、队列、哈希表和图等数据结构
• 双向链表常被用于需要快速查找前一个和下一个元素的场景
  • 高级数据结构
    • 比如在红黑树、B 树中，需要访问节点的父节点，这可以通过在节点中保存一个指向父节点的引用来实现，类似于双向链表
  • 浏览器历史
    • 在网页浏览器中，当用户点击前进或后退按钮时，浏览器需要知道用户访问过的前一个和后一个网页。双向链表的特性使得这种操作变得简单
  • LRU 算法
    • 在缓存淘汰算法（LRU）中，需要快速找到最近最少使用的数据，以及支持快速地添加和删除节点
• 循环链表常被用于需要周期性操作的场景，比如操作系统的资源调度
  • 时间片轮转调度算法
    • 在操作系统中，时间片轮转调度算法是一种常见的 CPU 调度算法，它需要对一组进程进行循环。每个进程被赋予一个时间片，当时间片用完时，CPU 将切换到下一个进程。这种循环的操作就可以通过循环链表来实现
  • 数据缓冲区
    • 在某些数据缓冲区的实现中，也可能会使用到循环链表。比如在音频、视频播放器中，数据流可能会被分成多个缓冲块并放入一个循环链表，以便实现无缝播放

3. 列表

数组长度不可变导致实用性降低。在实际中，可能事先无法确定需要存储多少数据，这使数组长度的选择变得困难。若长度过小，需要在持续添加数据时频繁扩容数组；若长度过大，则会造成内存空间的浪费

• 为解决此问题，出现了一种被称为动态数组的数据结构，即长度可变的数组，也常被称为列表 vector (C++)
• 列表基于数组实现，继承了数组的优点，并可在程序运行过程中动态扩容，可以在列表中自由地添加元素

3.1 列表常用操作

/* 1、初始化列表 */
// 无初始值
vector<int> list1;
// 有初始值
vector<int> list = { 1, 3, 2, 5, 4 };

/* 2、访问元素 */
// 列表本质上是数组，因此可以在 O(1) 时间内访问和更新元素
int num = list[1];  // 访问索引 1 处的元素
/* 更新元素 */
list[1] = 0;  // 将索引 1 处的元素更新为 0

/* 3、插入与删除元素 */
// 在列表尾部添加元素的时间复杂度为 O(1)
// 但插入和删除元素的效率仍与数组相同，时间复杂度为 O(n)
/* 清空列表 */
list.clear();
/* 尾部添加元素 */
list.push_back(1);
list.push_back(3);
list.push_back(2);
list.push_back(5);
list.push_back(4);
/* 中间插入元素 */
list.insert(list.begin() + 3, 6);  // 在索引 3 处插入数字 6
/* 删除元素 */
list.erase(list.begin() + 3);      // 删除索引 3 处的元素

/* 4、通过索引遍历列表 */
int count = 0;
for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
    count++;
}
/* 直接遍历列表元素 */
count = 0;
for (int n : list) {
    count++;
}

/* 5、拼接两个列表 */
vector<int> list1 = { 6, 8, 7, 10, 9 };
// 将列表 list1 拼接到 list 之后
list.insert(list.end(), list1.begin(), list1.end());

/* 6、排序列表 */
sort(list.begin(), list.end());  // 排序后，列表元素从小到大排列
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3.2 列表实现

/* 列表类简易实现 */
class MyList {
  private:
    int *nums;             // 数组（存储列表元素）
    int numsCapacity = 10; // 列表容量
    int numsSize = 0;      // 列表长度（即当前元素数量）
    int extendRatio = 2;   // 每次列表扩容的倍数

  public:
    /* 构造方法 */
    MyList() {
        nums = new int[numsCapacity];
    }

    /* 析构方法 */
    ~MyList() {
        delete[] nums;
    }

    /* 获取列表长度（即当前元素数量）*/
    int size() {
        return numsSize;
    }

    /* 获取列表容量 */
    int capacity() {
        return numsCapacity;
    }

    /* 访问元素 */
    int get(int index) {
        // 索引如果越界则抛出异常，下同
        if (index < 0 || index >= size())
            throw out_of_range("索引越界");
        return nums[index];
    }

    /* 更新元素 */
    void set(int index, int num) {
        if (index < 0 || index >= size())
            throw out_of_range("索引越界");
        nums[index] = num;
    }

    /* 尾部添加元素 */
    void add(int num) {
        // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
        if (size() == capacity())
            extendCapacity();
        nums[size()] = num;
        // 更新元素数量
        numsSize++;
    }

    /* 中间插入元素 */
    void insert(int index, int num) {
        if (index < 0 || index >= size())
            throw out_of_range("索引越界");
        // 元素数量超出容量时，触发扩容机制
        if (size() == capacity())
            extendCapacity();
        // 将索引 index 以及之后的元素都向后移动一位
        for (int j = size() - 1; j >= index; j--) {
            nums[j + 1] = nums[j];
        }
        nums[index] = num;
        // 更新元素数量
        numsSize++;
    }

    /* 删除元素 */
    int remove(int index) {
        if (index < 0 || index >= size())
            throw out_of_range("索引越界");
        int num = nums[index];
        // 索引 i 之后的元素都向前移动一位
        for (int j = index; j < size() - 1; j++) {
            nums[j] = nums[j + 1];
        }
        // 更新元素数量
        numsSize--;
        // 返回被删除元素
        return num;
    }

    /* 列表扩容 */
    void extendCapacity() {
        // 新建一个长度为原数组 extendRatio 倍的新数组
        int newCapacity = capacity() * extendRatio;
        int *tmp = nums;
        nums = new int[newCapacity];
        // 将原数组中的所有元素复制到新数组
        for (int i = 0; i < size(); i++) {
            nums[i] = tmp[i];
        }
        // 释放内存
        delete[] tmp;
        numsCapacity = newCapacity;
    }

    /* 将列表转换为 Vector 用于打印 */
    vector<int> toVector() {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        vector<int> vec(size());
        for (int i = 0; i < size(); i++) {
            vec[i] = nums[i];
        }
        return vec;
    }
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