2020安徽省大学生程序设计大赛题解——G 序列游戏_安徽程序设计大赛考点

2020安徽省大学生程序设计大赛题解——G 序列游戏

G 序列游戏

有一个序列w，初始为空。再给出一个长度为m单调递增的序列a。你需要对序列w作如下n次操作:
(1）操作0，在序列尾部添加数字0。
(2）操作1，在序列尾部添加数字1.
(3）操作-1,删除序列w中,所有位于位置ai的数(1<=i<=m)。比如 a={1,3,5}，就将w中第1，3，5个数删除。若ai>w 的当前长度，则该操作停止。
输出n次操作后的序列w。

题目

标签

树状数组、二分查找

分析

本题最大的两个特征为数据范围大，对数据的操作次数多。基于这两个特点，我们采用两个对应的方法，即二分查找(以便在数据范围大时寻找数据)和树状数组(以便删除数据后，数组可以快速调整)。

二分无需赘述，我们重点介绍一下树状数组。

树状数组，顾名思义，就是用数组来模拟树形结构。那么衍生出一个问题，为什么不直接建树？答案是没必要，因为树状数组能处理的问题就没必要建树。我们仅需两个数组便能存储和快速处理树状数组的各项数据。

这里采用树状数组，是因为其修改和查询的复杂度都是$O(logN)$，而且相比线段树系数要少很多，比传统数组要快，而且容易写。

下面是关于树状数组的基础概念。

二叉树大家一定都知道，如下图：

$$图G-1经典二叉树的图示$$

如果每个父亲都存的是两个儿子的值，这样的树形结构，叫做线段树。这里不用线段树是因为线段树虽然搜索速度快，但调整速度不如树状数组，另外，线段树解决此题显得有点大材小用。

真正的树状数组和上图类似，但省去了一些节点，以便用数组建树。

$$图G-2树状数组的一个图示（图源网络）$$

黑色数组代表原来的数组(下面用$A[i]$代替)，红色结构代表我们的树状数组(下面用$C[i]$代替)，发现没有，每个位置只有一个方框，令每个位置存的就是子节点的值的和，则有：

• $C[1]=A[1];$
• $C[2]=A[1]+A[2];$
• $C[3]=A[3];$
• $C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];$
• $C[5]=A[5];$
• $C[6]=A[5]+A[6];$
• $C[7]=A[7];$
• $C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];$

可以发现，这颗树是有规律的：

$C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+...+A[i]$，其中$k$为$i$的二进制中从最低位到高位连续零的长度。

例如$i=8(1000)$时候，$k=3$，可自行验证。

这个怎么实现求和呢，比如我们要找前$7$项和，那么应该是$SUM=C[7]+C[6]+C[4]$

而根据上面的式子，容易的出$SU{M}_i=C[i]+C[i-2^{k1}]+C[(i-2^{k1})-2^{k2}]+...$

其实树状数组就是一个二进制上面的应用。

现在新的问题来了，$2^k$该怎么求呢，不难得出$2^k=i\&(i^{(i-1)})$，但这个还是不好求出，前辈的智慧就出来了，$2^k=i\&(-i)$。我们引用数论里的证明过程对此进行说明。

这里利用的负数的存储特性，负数是以补码存储的，对于整数运算 $x\&(-x)$有

• 当$x$为$0$时，即 $0\&0$，结果为$0$；
• 当$x$为奇数时，最后一个比特位为$1$，取反加$1$没有进位，故$x$和$-x$除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为$0$。结果为$1$。
• 当$x$为偶数，且为$2$的$m$次方时，$x$的二进制表示中只有一位是$1$（从右往左的第$m+1$位），其右边有$m$位$0$，故$x$取反加$1$后，从右到左第有$m$个$0$，第$m+1$位及其左边全是$1$。这样，$x\&(-x)$ 得到的就是x。
• 当$x$为偶数，却不为$2$的$m$次方的形式时，可以写作$x=y\ast (2^k)$。其中，$y$的最低位为$1$。实际上就是把x用一个奇数左移$k$位来表示。这时，$x$的二进制表示最右边有$k$个$0$，从右往左第$k+1$位为$1$。当对$x$取反时，最右边的$k$位$0$变成$1$，第$k+1$位变为$0$；再加$1$，最右边的$k$位就又变成了$0$，第$k+1$位因为进位的关系变成了$1$。左边的位因为没有进位，正好和$x$原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第$k+1$位上为$1$，左边右边都为$0$。结果为$2^k$。
• 总结一下：$x\&(-x)$，当$x$为$0$时结果为$0$；$x$为奇数时，结果为$1$；$x$为偶数时，结果为$x$中$2$的最大次方的因子。

这个有一个专门的称呼，叫做$lowbit$，即取$2^k$。

基于上述描述，我们给出树状数组的构造程序(非原创)：

int n;
int a[1005],c[1005]; //对应原数组和树状数组

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void add(int i,int k){    //在i位置加上k
    while(i <= n){
        c[i] += k;
        i += lowbit(i);
    }
}

int getsum(int i){        //求A[1 - i]的和
    int res = 0;
    while(i > 0){
        res += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}
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有了树状数组和二分查找，本题的思路就显得十分清晰。本题有三个操作，其中一二两个操作本质上毫无区别，我们给出对应的树状数组的处理策略：

• 添加数：添加数进入树状数组，指针后移
• 删除数：二分找到待删数，删去，树状数组调整

完整的操作详见程序。

参考答案（C++）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

namespace fast_IO {
    inline int read() {
        int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
        while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
        while (isdigit(ch)) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
        return x * f;
    }
};
using namespace fast_IO;

const int N = 1e6 + 5;
int c[N], a[N], ans[N], top, as[N];
int n, m, sum;

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

void add(int x, int val) {
    while (x <= m) {
        c[x] += val;
        x += lowbit(x);
    }
}

int getsum(int x) {
    int ans = 0;
    while (x) {
        ans += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

void solve(int num, int ct) {
    int l = 1, r = m;
    while (l < r) {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (getsum(mid) >= num)
            r = mid;
        else
            l = mid + 1;
    }
    as[ct] = l;
}

int t;

int main() {
    cin >> m >> n;
    memset(ans, -1, sizeof(ans));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i] = read();
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        t = read();
        if (t == 0 || t == 1) {
            ans[++top] = t;
            sum++;
            add(top, 1);
        }
        else {
            int temp = lower_bound(a + 1, a + n + 1, sum) - a;
            sum -= temp > n || a[temp] > sum ? --temp : temp;
            for (int i = 1; i <= temp; i++)
                solve(a[i], i);
            for (int i = 1; i <= temp; i++) {
                add(as[i], -1);
                ans[as[i]] = -1;
            }
        }
    }
    bool flag = false;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        if (ans[i] == -1) continue;
        cout << ans[i];
        flag = true;
    }
    if (!flag) cout << "Poor stack!";
    return 0;
}
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