10、ECC算法_计算ecc。

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ECC算法

ECC算法数学基础

ECC算法安全原理

ECC算法流程

ECC算法相关

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ECC算法

椭圆曲线加密（ECC，Elliptic Curves Cryptography）也属于非对称加密公钥算法，与主流的RSA算法相比，ECC算法可以使用较短的密钥达到相同的安全程度。ECC是建立在基于椭圆曲线的离散对数问题上的密码体制，给定椭圆曲线上的一个点G，并选取一个整数k，求解K=kG很容易(注意根据kG求解出来的K也是椭圆曲线上的一个点)；反过来，在椭圆曲线上给定两个点K和G，若使K=kG，求整数k是一个难题。ECC就是建立在此数学难题之上,这一数学难题称为椭圆曲线离散对数问题。近年来，ECC逐步进入实际应用，如国家密码管理局颁布的SM2算法就是基于ECC算法的。

ECC算法数学基础

群：设三元组（G,.,1）中G为集合，.为集G上的二元运算，1为G中的一个元，若（G, .,1）满足：

• G1(乘法集合率)：a.(b.c)=(a.b) .c，a,b,c∈G；
• G2(单位元)：1.a=a.1=a，a∈G；
• G3(逆元)：对a∈G，有a‘∈G使得a.a’=a’ .a=1；

则称（G, .,1）为群，简称群G，1为群G的单位元，a’称为a的逆元。

群：群；交换群，半群，交换半群；子群；循环群；对称群等

域：设五元组（F,+, .,0,1）中，F为集合，+与 .为集R上二元运算，0与1为F中元，若（F,+, .,0,1）满足：

• F1(加法交换群)：（F,+, 0）是交换群；
• F2(乘法交换群)：（F,.,1）是交换群，这里F*=F-0；
• F3(乘法对加法的分配率)：a.(b+c)=a.b+a.c，a,b,c∈F；

则称（F,+, .,0,1）为域，简称域F。

域：域上多项式，既约多项式，同余，剩余类，子域，扩域等。

有限域：有限域亦称伽罗瓦域，是仅含有限个元素的域，它是伽罗瓦于18世纪30年代研究代数方程根式求解问题时引出的。有限域中元素的个数称为有限域的阶。每个有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表示为pⁿ（p是素数、n是正整数，若F是特征为p的有限域，则F中元素的个数为pⁿ），元素个数相同的有限域是同构的。因此，通常用GF(pⁿ)表示pⁿ元的有限域。

椭圆曲线：椭圆曲线是指由维尔斯特拉斯方程

所确定的平面曲线，其中系数ai（i=1,2,…,6）定义在某个域上。椭圆曲线密码是基于有限域上椭圆曲线有理点群的一种密码系统，其数学基础是利用椭圆曲线上的点构成的Abelian加法群构造的离散对数的计算困难性。

ECC算法安全原理

K=kG，其中K,G为Ep（a,b）上的点，k为小于n的整数，n是点G的阶，给定k和G，计算K容易，但是给定K和G，求k就很难了！

因此：K为公钥，k为私钥，G为基点。

ECC算法流程

1、参数生成

通常将Fp上的一条椭圆曲线描述为T=(p,a,b,G,n,h)，p、a、b确定一条椭圆曲线（p为质数，(mod p)运算）G为基点，n为点G的阶，h是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的商的整数部分。

• 选择一个素数ｐ，从而确定有限域GF（ｐ）；
• 选择元素ａ，ｂ属于GF（ｐ），从而确定一条GF（ｐ）上的椭圆曲线；
• 选择一个大素数ｎ，并确定一个阶为ｎ的基点；（基础参数p,a,b,G,n,h是公开的）
• 随机的选择一个整数ｄ属于［１,ｎ－１］，作为私钥；
• 根据Q=ｄＧ；计算出用户的公钥Q；

参量选择要求：

• p越大安全性越好，但会导致计算速度变慢；
• 200位左右可满足一般安全要求；
• n应为质数 h≤4；p≠n×h ；pt≠1(mod n) (1≤t＜20)

2、加、解密

实际应用中，设要加密的明文数据ｍ，０＜＝ｍ＜ｎ，用户A要将数据ｍ发送给用户B：

加密：

1. 用户A去查公钥库PKDB，查询到用户B 的公钥Q；
2. 用户A随机选择一个随机数ｋ，且ｋ属于［１,ｎ－１］；
3. 用户A计算点X1：（x1,y1）=kG；
4. 用户A计算点X2：（x2,y2）=kG；如果x2＝Ｏ，则转２；
5. 用户A计算C＝ｍx2　ｍｏｄ　ｎ；
6. 用户A发送加密数据（X1，Ｃ）给用户B。

解密：

1. 用户B用自己的私钥求出X2：ｄX1＝ｄ(kG)＝k(dG)=kQ=X2:（x2,y2）；
2. 求出分量x2的逆：x2＾(－１)；
3. 对C解密，得到明文数据m=Cx2＾(－１) mod n。

3、签名、验签

签名：

• A选定一条椭圆曲线Ep（a，b），并取曲线上一点作为基点G
• A选择一个私钥k，并生成公钥K=kG
• A产生一个随机数r，计算R(x,y)=rG
• A计算Hash=SHA(M)，M‘=M(modp)
• A计算S=（Hash+M'k）/r(modp)

验签：

• B获得S和M'，Ep(a,b)，K，R(x,y)
• B计算Hash=SHA(M)，M'=M(modp)
• B计算R'=（Hash*G+M'*K）/S=(Hash*G+M'*kG)*r/(Hash+M'k)=rG=R（x,y），若R'=R，则验签成功。

以上加解密和签名验签流程只是一个例子，具体应用时可以利用K=kG这一特性变幻出多种加解密方式。

举例说明如下：

B传送明文M给A：仅为例：也可以构成其他椭圆曲线密码。

参数：

• A选定一条椭圆曲线Ep（a,b），并取曲线上一点作为基点G
• A选择一个私钥k，并生成公钥K=kG
• A将Ep（a,b）和k，G发送给B

加密：

• B收到后将明文编码到Ep（a,b）上一点M，并产生一个随机数r
• B计算点C1=M+rK，C2=rG
• B将C1，C2传给A

解密：

• A计算C1-kC2=M+rkG-krG=M
• A对M解码得到明文

在这个加密通信中，如果有一个偷窥者H ，他只能看到Ep(a,b)、K、G、C1、C2，而通过K、G 求k 或通过C2、G求r 都是相对困难的H无法得到，因此，A、B间传送的信息安全。

ECC算法相关

1、特点

基于椭圆曲线理论的公钥加密技术（1985），与传统的基于大质数因子分解困难性的加密方法不同，ECC通过椭圆曲线方程式的性质产生密钥。

优点：ECC和其他几种公钥系统相比，其抗攻击性具有绝对的优势，ECC160位的密钥相当于RSA 、DSA1024位密钥提供的保密强度，210位ECC则与2048位RSA、DSA具有相同的安全强度；计算量较小，处理速度更快；ECC的密钥尺寸和系统参数与RSA、DSA相比要小得多存储空间和传输带宽占用较少。

缺点：设计复杂，实现困难；如果序列号设计过短，那么安全性并没有想象中的完善。

2、应用

目前我国居民二代身份证正在使用 256 位的椭圆曲线密码；虚拟货币比特币也选择ECC作为加密算法；IC卡、电子商务、Web服务器、移动电话和便携终端、航空航天领域。

注：

如有错误、侵权，请联系笔者更改删除！！！