python 树状数组_【算法日积月累】19-高级数据结构：树状数组

树状数组能解决的问题

树状数组，也称作“二叉索引树”(Binary Indexed Tree)或 Fenwick 树。 它可以高效地实现如下两个操作：

1、数组前缀和的查询；

2、单点更新。

下面具体解释这两个操作。

1、数组的前缀和查询

首先看下面这个例子，了解什么是数组的前缀和查询。

例1：已知数组

。

1、求索引

至索引

的所有元素的和；

2、求索引

至索引

的所有元素的和；

3、求索引

至索引

的所有元素的和。

分析：“前缀和”定义了一个数组从“头”开始的区间，计算的是这个从索引位置是

开始的区间中的所有元素的“和”。

注意：我们的问题是求从索引位置是

开始的所有元素的和，而其它不是从

开始的数组的区间和可以转化成前面的这个问题。这一点可以看后面的例 4 。

2、单点更新

例 2：已知数组

。

1、将索引为

的元素增加

；

2、将索引为

的元素减少

。

分析：“单点更新”即将数组指定索引的元素值变更为另一个值，给出的参数是一个改变的数值，即“更新以后的值减去原来的值”。注意，单点更新的操作，我们描述的是“相对于之前的值发生的变化”，而不是“变成了什么”。

如果我们不使用任何任何数据结构，仅依靠定义，“数组前缀和的查询 ” 的时间复杂度是

，“单点更新” 的时间复杂度是

。

我们觉得“数组前缀和的查询 ” 的时间复杂度较大，要扫描这个区间的一大部分元素，才能得到这个区间的和。于是一个常见的做法是，我们可以首先计算出一个“前缀和数组”，这个数组的每个元素的值对应的正是原来数组的前缀和。

例3：已知数组 nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]，求前缀和数组 cumsum。

分析：根据前缀和的定义，容易计算出前缀和数组是 cumsum = [1, 3, 6, 10, 15, 21, 28]。

有了前缀和数组每次查询前缀和时间复杂度就变成了

。前缀和数组得到以后，就可以以

的时间复杂度解决“区间和”问题。

例4：已知数组 nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] ，求区间 [3, 7] 的和，特别说明：该例中数组的索引从

开始计算。

说明：注意到这个例子有一个特别说明“该例中数组的索引从

开始计算”，大家先不要纠结为什么。因为后续我们对树状数组的定义都选择从索引

开始，这和堆的一般实现思想类似，索引

我们不放元素。这个例子只是为了说明“已知前缀和可以用

的时间复杂度得到区间和”。

分析：“前缀和(7)” = nums[1] + nums[2] + nums[3] + nums[4] + nums[5] + nums[6] + nums[7] ，“前缀和(2)” = nums[1] + nums[2]，而“区间 [3, 7] 的和”= nums[3] + nums[4] + nums[5] + nums[6] + nums[7]，因此“区间 [3, 7] 的和” = “前缀和(7)” - “前缀和(2)” 。

从这个例子中，我们可以看出：前缀和数组知道了，区间和也可以很快地求出来。

那如果我要执行“单点更新”，就得更新这个前缀和数组，又得计算一次前缀和，时间复杂度为

。那如果我在一次业务场景中“前缀和”和“单点更新”的次数都很多，前缀和数组就不高效了。而 Fenwick 树就是一个实现了快速计算“前缀和”和“单点更新”这两个操作的数据结构。

我们首先先看看树状数组长什么样，有一个直观的认识。

树状数组的样子

高级数据结构：树状数组-1

例5：我们以一个有

个元素的数组 A 为例(如上图)，在数组 A 之上建立一个数组 C，使得数组 C 的形成如上的一个多叉树形状，数组 C 就是一个树状数组。此时我们有以下疑问：

1、树状数组要建成动态的树形结构吗？

分析：不。学习过堆、线段树的朋友一定知道，使用数组就能方便地索引左右孩子结点、双亲结点(因为规律特别容易找到)，这样的树就不必创建成结点、指针那样的动态树形结构。

2、如何解释“前缀和查询”、“单点更新”？

分析：例如我们要查询“前缀和(4)”，本来应该问 A1、A2、A3、A4，有了数组 C 之后，我们只要问 C4 即可。再如，我们要更新结点 A1 的值，只要自底向上更新 C1、C2、C4、C8 的值即可。

我们构建好数组 C 以后，就完全可以抛弃数组 A 了。

理解数组

的定义

首先我们强调一点，树状数组的下标从

开始，

号索引我们不用，这一点我们看到后面就会明白。我们先了解如下的定义，请大家一定先记住这些记号所代表的含义：

1、数组 C 是一个对原始数组 A 的预处理数组。

2、我们还要熟悉几个记号。为了方便说明，避免后面行文啰嗦，我们将固定使用记号

、

、

，它们的定义如下：

记号

：表示预处理数组

的索引(十进制表示)。

记号

：表示原始数组

的索引(十进制表示)。

我们通过以下的图，来看看 C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7、C8 分别是如何定义的。

高级数据结构：树状数组-2

高级数据结构：树状数组-3

高级数据结构：树状数组-4

高级数据结构：树状数组-5

上面的过程我们用如下的表来表示。

高级数据结构：树状数组-6

数组

的索引与数组

的索引的关系

伟大的计算机科学家注意到上表中标注了“数组

中的元素来自数组

的元素个数”，它们的规律如下：将数组

的索引

表示成二进制，从右向左数，遇到

则停止，数出

的个数记为

，则计算

就是“数组

中的元素来自数组

的个数”，并且可以具体得到来自数组

的表示，即从当前索引

开始，从右向前数出

个数组

中的元素的和，即组成了

。下面具体说明。

记号

：将

的二进制表示从右向左数出的

的个数，遇到

则停止，记为

。 我们只对数组

的索引

进行这个计算，数组

的索引

不进行相应的计算。理解

是如何得到的是关键，请务必重视。下面我们通过两个例子进行说明。

例5：当

时，计算

。

分析：因为

的二进制表示是

，从右边向左边数，第

个是

，因此

的个数是

，此时

。

例6：当

时，计算

。

分析：因为

的二进制表示是

，从右边向左边数遇到

之前，遇到了

个

，此时

= 3。

计算出

以后，

立马得到，为此我们可以画出如下表格：

高级数据结构：树状数组-7

我们看到

是我们最终想要的。下面我们介绍一种很酷的操作，叫做 lowbit ，它可以高效地计算

，即我们要证明：

其中

是将

表示成二进制以后，从右向左数，遇到

则停止时，数出的

的个数。

通过 lowbit 高效计算

lowbit(i) = i & (-i)

对，就是这么简单。理解这行伪代码需要一些二进制和位运算的知识作为铺垫。

首先，我们知道负数的二进制表示为：相应正数的二进制表示的反码 + 1。

例7：计算

的二进制表示。

分析：

的二进制表示为

，先表示成反码，即“

变

，

变

”，得

，再加

，得

。

例8：当 i = 6 时，计算

。

分析：由例 7 及“与”运算的定义，把它们按照数位对齐上下写好：

0000 0110

1111 1010

0000 0010

说明：上下同时为

才写

，否则写

，最后得到 0000 0010，这个二进制数表示成十进制数就是

。建议大家多在稿纸上写几个具体的例子来计算

，进而理解为什么

。

下面我给出一个我的直观解释：如果我们直接将一个整数“按位取反”，再与原来的数做“与”运算，一定得到

。巧就巧在，负数的二进制表示上，除了要求对“按位取反”以外，还要“加”

，在“加 ”

的过程中产生的进位数即是“将

表示成二进制以后，从右向左数，遇到

停止时数出

的个数”。

那么我们知道了

以后，又有什么用呢？由于位运算是十分高效的，它能帮助我们在树状数组中高效计算“从子结点索引到父结点”(即对应“单点更新”操作)，高效计算“前缀和由预处理数组的那些元素表示”(即对应“前缀和查询操作”)。

体会 lowbit 的威力

1、 “单点更新”操作：“从子结点到父结点”

高级数据结构：树状数组-8

例9：修改

， 分析对数组

产生的变化。

从图中我们可以看出

的父结点以及祖先结点依次是

、

、

，所以修改了

以后

、

、

的值也要修改。

先看

，

，

就是

的父亲结点

的索引值。

再看

，

，

就是

的父亲结点

的索引值。

从图中，也可以验证：“红色结点的索引值 + 右下角蓝色圆形结点的值 = 红色结点的双亲结点的索引值”。

下面我试图解释这个现象：

即

，从右向左，遇到

放过，遇到

为止，给这个数位加

，这个操作就相当于加上了一个

的二进制数，即一个

值，有意思的事情就发生在此时，马上就发发生了进位，得到

，即

的二进制表示。

接下来处理

，从右向左，从右向左，遇到

放过，遇到

为止，给这个数位加

，同样地，这个操作就相当于加上了一个

的二进制数，即一个

值，可以看到，马上就发发生了进位，得到

，即

的二进制表示。

从我上面的描述中，你可以发现，我们又在做“从右边到左边数，遇到

之前数出

的个数”这件事情了，

由此我们可以总结出规律：从已知子结点的索引

，则结点

的父结点的索引

的计算公式为：

可不过我还想说明的是，这不是巧合和循环论证，这正是因为对 “从右边到左边数出

的个数，遇到

停止这件事情”的定义，使用

可以快速计算这件事成立，才会有的。

分析到这里“单点更新”的代码就可以马上写出来了。

Java 代码：

/**

* 单点更新

*

* @param i 原始数组索引 i

* @param delta 变化值 = 更新以后的值 - 原始值

*/

public void update(int i, int delta) {

// 从下到上更新，注意，预处理数组，比原始数组的 len 大 1，故 预处理索引的最大值为 len

while (i <= len) {

tree[i] += delta;

i += lowbit(i);

}

}

public static int lowbit(int x) {

return x & (-x);

}

2、 “前缀和查询操作”：计算前缀和由预处理数组的那些元素表示”

还是上面那张图。

高级数据结构：树状数组-9

例 10 ：求出“前缀和(6)”。

由图可以看出“前缀和(6) ” =

+

。

先看

，

，

正好是

的上一个非叶子结点

的索引值。这里给出我的一个直观解释，如果下标表示高度，那么上一个非叶子结点，其实就是从右边向左边画一条水平线，遇到的墙的索引。只要这个值大于

，都能正确求出来。

例11：求出“前缀和(5)”。

再看

，

，

正好是

的上一个非叶子结点

的索引值，故“前缀和(5)” =

+

。

例12：求出“前缀和(7)”。

再看

，

，

正好是

的上一个非叶子结点

的索引值，再由例9 的分析，“前缀和(7)” =

+

+

。

例13：求出“前缀和(8)”。

再看

，

，

，

表示没有，从图上也可以看出从右边向左边画一条水平线，不会遇到的墙，故“前缀和(8)” =

。

经过以上的分析，求前缀和的代码也可以写出来了。

Java 代码：

/**

* 查询前缀和

*

* @param i 前缀的最大索引，即查询区间 [0, i] 的所有元素之和

*/

public int query(int i) {

// 从右到左查询

int sum = 0;

while (i > 0) {

sum += tree[i];

i -= lowbit(i);

}

return sum;

}

可以看出“单点更新”和“前缀和查询操作”的代码量其实是很少的。

树状数组的初始化

这里要说明的是，初始化前缀和数组应该交给调用者来决定。下面是一种初始化的方式。树状数组的初始化可以通过“单点更新”来实现，因为“最最开始”的时候，数组的每个元素的值都为

，每个都对应地加上原始数组的值，就完成了预处理数组

的创建。

这里要特别注意，update 操作的第

个索引值是一个变化值，而不是变化以后的值。因为我们的操作是逐层上报，汇报变更值会让我们的操作更加简单，这一点请大家反复体会。

Java 代码：

public FenwickTree(int[] nums) {

this.len = nums.length + 1;

tree = new int[this.len + 1];

for (int i = 1; i <= len; i++) {

update(i, nums[i]);

}

}

基于以上所述，树状数组的完整代码已经可以写出来了。

Java 代码：

public class FenwickTree {

/**

* 预处理数组

*/

private int[] tree;

private int len;

public FenwickTree(int n) {

this.len = n;

tree = new int[n + 1];

}

/**

* 单点更新

*

* @param i 原始数组索引 i

* @param delta 变化值 = 更新以后的值 - 原始值

*/

public void update(int i, int delta) {

// 从下到上更新，注意，预处理数组，比原始数组的 len 大 1，故 预处理索引的最大值为 len

while (i <= len) {

tree[i] += delta;

i += lowbit(i);

}

}

/**

* 查询前缀和

*

* @param i 前缀的最大索引，即查询区间 [0, i] 的所有元素之和

*/

public int query(int i) {

// 从右到左查询

int sum = 0;

while (i > 0) {

sum += tree[i];

i -= lowbit(i);

}

return sum;

}

public static int lowbit(int x) {

return x & (-x);

}

}

Python 代码：

class FenwickTree:

def __init__(self, n):

self.size = n

self.tree = [0 for _ in range(n + 1)]

def __lowbit(self, index):

return index & (-index)

# 单点更新：从下到上，最多到 size，可以取等

def update(self, index, delta):

while index <= self.size:

self.tree[index] += delta

index += self.__lowbit(index)

# 区间查询：从上到下，最少到 1，可以取等

def query(self, index):

res = 0

while index > 0:

res += self.tree[index]

index -= self.__lowbit(index)

return res

树状数组的应用

其实下面这两个问题本质上是一个问题。

例1：《剑指 Offer 》第 51 题：逆序数的计算

在数组中的两个数字如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。

输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。

样例

输入：[1,2,3,4,5,6,0]

输出：6

分析：这道题最经典的思路是使用分治法计算，不过使用树状数组语义更清晰一些。

Python 代码：

class Solution(object):

def inversePairs(self, nums):

"""

:type nums: List[int]

:rtype: int

"""

class FenwickTree:

def __init__(self, n):

self.size = n

self.tree = [0 for _ in range(n + 1)]

def __lowbit(self, index):

return index & (-index)

# 单点更新：从下到上，最多到 size，可以取等

def update(self, index, delta):

while index <= self.size:

self.tree[index] += delta

index += self.__lowbit(index)

# 区间查询：从上到下，最少到 1，可以取等

def query(self, index):

res = 0

while index > 0:

res += self.tree[index]

index -= self.__lowbit(index)

return res

# 特判

l = len(nums)

if l < 2:

return 0

# 原始数组去除重复以后从小到大排序

s = list(set(nums))

# 构建最小堆，因为从小到大一个一个拿出来，用堆比较合适

import heapq

heapq.heapify(s)

# 由数字查排名

rank_map = dict()

index = 1

# 不重复数字的个数

size = len(s)

for _ in range(size):

num = heapq.heappop(s)

rank_map[num] = index

index += 1

res = 0

# 树状数组只要不重复数字个数这么多空间就够了

ft = FenwickTree(size)

# 从后向前看，拿出一个数字来，就更新一下，然后向前查询比它小的个数

for i in range(l - 1, -1, -1):

rank = rank_map[nums[i]]

ft.update(rank, 1)

res += ft.query(rank - 1)

return res

说明：中间将数字映射到排名是将原数组“离散化”，“离散化”的原因有 2 点：

1、树状数组我们看到，索引是从“

”开始的，我们不能保证我们的数组所有的元素都大于等于

；

2、即使元素都大于等于“

”，为了节约树状数组的空间，我们将之“离散化”可以把原始的数都压缩到一个小区间。我说的有点不太清楚，这一点可以参考 树状数组 求逆序数 poj 2299。

例2：LeetCode 第 315 题：计算右侧小于当前元素的个数

给定一个整数数组 nums，按要求返回一个新数组 counts。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。

示例:

输入: [5,2,6,1]

输出: [2,1,1,0]

解释:

5 的右侧有 2 个更小的元素 (2 和 1).

2 的右侧仅有 1 个更小的元素 (1).

6 的右侧有 1 个更小的元素 (1).

1 的右侧有 0 个更小的元素.

分析：事实上，这个问题就是在计算“逆序数”，和上一个问题是一样的。“计算右侧小于当前元素的个数”我们可以“从后向前一个一个填”。因为涉及大小关系，所以要排个序，并且给出序号。这一步操作也叫“离散化”。具体方法是：先画出一个排名表，对于这个问题，排名表是：

数

排名

1

1

2

2

5

3

6

4

从后向前填：

1、遇到 1 ，1 的排名是 1 ，首先先在 1 那个位置更新 1，那么 1 之前肯定没有数了，所以就是 0；

2、遇到 6 ， 6 的排名是 4，首先先在 4 那个位置更新 1，那么 6 之前可以在树状树组里面查一下，是 1；

3、遇到 2 ， 2 的排名是 2，首先先在 2 那个位置更新 1，那么 2 之前可以在树状树组里面查一下，是 1；

4、遇到 5 ，5 的排名是 3，首先先在 3 那个位置更新 1，那么 3 之前可以在树状树组里面查一下，是 2；

反过来就是结果 [2,1,1,0]。

Python 代码：

class Solution:

def countSmaller(self, nums):

"""

:type nums: List[int]

:rtype: List[int]

"""

class FenwickTree:

def __init__(self, n):

self.size = n

self.tree = [0 for _ in range(n + 1)]

def __lowbit(self, index):

return index & (-index)

# 单点更新：从下到上，最多到 size，可以取等

def update(self, index, delta):

while index <= self.size:

self.tree[index] += delta

index += self.__lowbit(index)

# 区间查询：从上到下，最少到 1，可以取等

def query(self, index):

res = 0

while index > 0:

res += self.tree[index]

index -= self.__lowbit(index)

return res

l = len(nums)

if l == 0:

return []

if l == 1:

return [0]

s = list(set(nums))

import heapq

heapq.heapify(s)

index = 1

size = len(s)

rank_map = dict()

ft = FenwickTree(size)

for _ in range(size):

num = heapq.heappop(s)

rank_map[num] = index

index += 1

# 从后向前填表

res = [None for _ in range(l)]

for index in range(l - 1, -1, -1):

rank = rank_map[nums[index]]

ft.update(rank, 1)

res[index] = ft.query(rank - 1)

return res

LeetCode 上使用“树状数组”解决的问题还有：

高级数据结构：树状数组-10

本文源代码

Python：代码文件夹，Java：代码文件夹。

扩展与参考资料

1、扩展

下面这个课件提到了树状数组深入的使用技巧和二维树状数组：

我没有精力继续研究了，毕竟我不搞算法竞赛，有时间再看。

2、参考资料

编写本文参考了以下网络资源：

leetcode 315 Count of Smaller Numbers After Self 以及 BST总结。

https://segmentfault.com/a/1190000008233783

(本节完)

感觉写得比较啰嗦，还有就是从子到父，从父到子的过程最好手写写清楚。