动态规划之买卖股票问题（篇三）（买卖股票的最佳时机）_动态规划 股票买卖

本篇博客主要讲解309.最佳买卖股票时机含冷冻期和714.买卖股票的最佳时机含手续费，这也是股票系列的最后一篇讲解。

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

题目：

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入:

prices = [1,2,3,0,2]

输出:

3

解释:

对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

输入:

prices = [1]

输出:

0

提示：

1. 1 <= prices.length <= 5000
2. 0 <= prices[i] <= 1000

思路：

相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II ，本题加上了一个冷冻期
动规五部曲，分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。

其实本题还是比较难的，是因为出现冷冻期之后，状态其实是比较复杂度，例如今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期，都是不能操作股票的。

具体可以区分出如下四个状态：

• 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
• 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
  • 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
  • 状态三：今天卖出股票
• 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

j的状态为：

• 0：状态一
• 1：状态二
• 2：状态三
• 3：状态四

注意这里的每一个状态，例如状态一，是持有股票股票状态并不是说今天一定就买入股票，而是说保持买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。

2. 确定递推公式

达到买入股票状态（状态一） 即：dp[i][0]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
• 操作二：今天买入了，有两种情况
  • 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
  • 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]

那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i])

达到保持卖出股票状态（状态二） 即：dp[i][1]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是状态二
• 操作二：前一天是冷冻期（状态四）

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出

即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

昨天卖出了股票（状态三）

dp[i][3] = dp[i - 1][2];

综上分析，递推代码如下：

            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i], dp[i - 1][3] - prices[i])  # 持有股票状态
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]) # 保持卖出股票状态
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]  # 卖出股票状态
            dp[i][3] = dp[i - 1][2] # 冷却期
1
2
3
4

3. dp数组如何初始化

这里主要讨论一下第0天如何初始化。

如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。

保持卖出股票状态（状态二），这里其实从 「状态二」的定义来说 ，很难明确应该初始多少，这种情况我们就看递推公式需要我们给他初始成什么数值。

如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1][1] - prices[i] ，即 dp[0][1] - prices[1]，那么大家感受一下 dp[0][1] （即第0天的状态二）应该初始成多少，只能初始为0。想一想如果初始为其他数值，是我们第1天买入股票后 手里还剩的现金数量是不是就不对了。

今天卖出了股票（状态三），同上分析，dp[0][2]初始化为0，dp[0][3]也初始为0。

4. 确定遍历顺序

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

5. 举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：

最后结果是取 状态二，状态三，和状态四的最大值，别忘了状态四，状态四是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。

代码及详细注释：

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        # 初始化动态规划数组，dp[i][j]表示第i天状态为j时的最大收益
        dp = [[0] * 4 for _ in range(len(prices))]
        dp[0][0] = -prices[0]  # 第0天持有股票的收益
        for i in range(1, len(prices)):
            # 状态转移方程
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i], dp[i - 1][3] - prices[i])  # 持有股票状态
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3])  # 保持卖出股票状态
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]  # 卖出股票状态
            dp[i][3] = dp[i - 1][2]  # 冷却期
        # 返回最后一天的最大收益，即状态为卖出股票、保持卖出股票、冷却期的最大值
        return max(dp[-1][1], dp[-1][2], dp[-1][3])

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

714.买卖股票的最佳时机含手续费

题目：

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：

prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2

输出：

8

解释：

能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

输入：

prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3

输出：

6

提示：

• 1 < prices.length <= 50000.
• 1 < prices[i] < 50000.
• 0 <= fee < 50000.

思路：

本题相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II ，本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了，代码几乎是一样的。

唯一差别在于递推公式部分，所以本篇也就不按照动规五部曲详细讲解了，主要讲解一下递推公式部分。

这里重申一下dp数组的含义：

dp[i][0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]

所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee

所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);

本题和动态规划：122.买卖股票的最佳时机II 的区别就是这里需要多一个减去手续费的操作。

代码及详细注释：

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:
        dp = [[0] * 2 for _ in range(len(prices))]  # 初始化动态规划数组，dp[i][j]表示第i天状态为j时的最大收益
        dp[0][0] = -prices[0]  # 第0天持有股票的收益
        for i in range(1, len(prices)):
            # 状态转移方程
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i])  # 持有股票状态
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee)  # 卖出股票状态
        # 返回最后一天的卖出股票状态的最大收益
        return dp[-1][1]

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)