权值线段树

权值线段树

定义

本质上仍然是一棵线段树，但它和每个节点用来表示一个区间内元素出现的次数，可以理解为维护区间的值域。

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原理

现有序列：4 2 1 3
线段树初始状态各个节点权值是 $0$

依次插入元素$4$：

依次插入元素$2$：

依次插入元素$1$：

依次插入元素$3$：

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区别

权值线段树维护的是桶，按值域开空间，维护的是个数。

简单线段树维护的是信息，按个数可开空间，维护的是特定信息。

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用途

权值线段树可以解决 数列第 k 大/小的问题

注意：我们只能对给定数列解决整个数列的第k大/小，并不能解决数列的子区间的第k大/小。

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操作

• 以查询第 $k$ 小值为例

建树

void build(int u, int l, int r) {
	tr[u] = {l, r};
	if(l == r) { tr[u].sum = a[l]; return ; } 
	int mid = l + r >> 1;
	build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r);
	pushup(u); 
}
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修改

• 单点修改

void modify(int u, int x) {
	tr[u].sum ++;
	if(tr[u].l == tr[u].r) return ;
	int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
	if(x <= mid) modify(ls, x);
	else modify(rs, x);
	pushup(u);	
}
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询问

• 左子树权值 $\ge k$，则递归进入左子树。
• 否则递归进入右子树，并且传入的是 $k-tr[ls].sum$。

int query(int u, int k) {
	if(tr[u].l == tr[u].r) return tr[u].l;
	if(tr[ls].sum >= k) return query(ls, k);
	return query(rs, k - tr[ls].sum);
}
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例题（P1138 第 k 小整数）

传送门

题目描述

现有 $n$ 个正整数，要求出这 $n$ 个正整数中的第 $k$ 个最小整数 （相同大小的整数只计算一次）。

输入格式

第一行为 $n$ 和 $k$ ; 第二行开始为 $n$ 个正整数的值，整数间用空格隔开。

输出格式

第 $k$个最小整数的值；若无解，则输出 NO RESULT。

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代码

• 权值线段树，维护桶$a$。

• 建空树，加修改

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;

#define ls u<<1
#define rs u<<1|1

struct node {
	int l, r, sum;
} tr[N << 2];

int n, k;
int a[N];

void pushup(int u) {
	tr[u].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;
}

void build(int u, int l, int r) {
	tr[u] = {l, r};
	if(l == r) return ;
	int mid = l + r >> 1;
	build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r);
	pushup(u); 
}

void modify(int u, int x) {
	tr[u].sum ++;
	if(tr[u].l == tr[u].r) return ;
	int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
	if(x <= mid) modify(ls, x);
	else modify(rs, x);
	pushup(u);	
}

int query(int u, int k) {
	if(tr[u].l == tr[u].r) return tr[u].l;
	if(tr[ls].sum >= k) return query(ls, k);
	return query(rs, k - tr[ls].sum);
}

int main() {
	cin >> n >> k;
	int mx = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		int x; cin >> x;
		a[x] = 1;
		mx = max(mx, x);
	}
	build(1, 1, mx);
	for (int i = 0; i <= mx; i++) if(a[i]) modify(1, i);
	if(k > tr[1].sum) cout << "NO RESULT" << endl;
	else cout << query(1, k) << endl;
	return 0;
}
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• 不建空树，直接对 $tr.sum$ 进行初始化

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;

#define ls u<<1
#define rs u<<1|1

struct node {
	int l, r, sum;
} tr[N << 2];

int n, k;
int a[N];

void pushup(int u) {
	tr[u].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;
}

void build(int u, int l, int r) {
	tr[u] = {l, r};
	if(l == r) { tr[u].sum = a[l]; return ; } 
	int mid = l + r >> 1;
	build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r);
	pushup(u); 
}

int query(int u, int k) {
	if(tr[u].l == tr[u].r) return tr[u].l;
	if(tr[ls].sum >= k) return query(ls, k);
	return query(rs, k - tr[ls].sum);
}

int main() {
	cin >> n >> k;
	int mx = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		int x; cin >> x;
		a[x] = 1;
		mx = max(mx, x);
	}
	build(1, 1, mx);
	if(k > tr[1].sum) cout << "NO RESULT" << endl;
	else cout << query(1, k) << endl;
	return 0;
}
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