数学建模 算法与应用 （python实现）第二章 整数规划_整数线性规划的计算机求解

第二章 整数规划

整数规划一般指整数线性规划

1. 概述

整数规划的分类

整数线性规划一般可分为两类：

1. 完全整数规划
2. 混合整数规划

整数规划的特点

1. 原线性规划有最优解
   • 原线性规划最优解全是整数，最优解一致
   • 整数规划无可行解
   • 有可行解，但最优解值会变差
2. 整数规划最优解不能按照师叔最优解简单的取证获得

求解方法分类

1. 分枝界定法——可求纯或混合整数线性规划。
2. 割平面法——可求纯或混合整数线性规划。
3. 隐枚举法——可求“0-1”整数规划。
   • 过滤隐枚举法
   • 分枝隐枚举法
4. 匈牙利法——解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
5. 蒙特卡洛法——求解各种类型规划。

2. 0-1 型线性规划

0-1规划的变量$x_j$仅取值0或1。

相互排斥的约束条件

有两种运输方式可供选择，但只能选一种：
$$5x_1+4x_2\le 24或7x_1+3x_2\le 45\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
为解决问题，引入0-1变量$y$
$$y=\{\begin{array}{l}1,当采用船运方法时\\ 0,当采用车运方法时\end{array}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
则上述条件改写为
$$\{\begin{array}{l}5x_1+4x_2\le 24+yM,\\ 7x_1+3x_2\le 45+yM,\\ y=0或1\end{array}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$
其中M为充分大的数。

关于固定费用的问题(Fixed Cost Problem)

在某要求成本最小化的问题中，往往需要投入固定成本，例如，选定的生产方式投资高，由于产量大，因而分配到每件产品的成本就降低，反之初期成本投入低，因而每件产品的生产成本就偏高。

• $j=1,2,3$分别表示三种方式：

• $x_j$ 表示采用第 j 方式的产量

• $c_j$表示采用第$j$种方式时每件产品的成本变动

• $k_j$表示第$j$种方式时的固定成本

暂不考虑其他约束条件，采用各种方式的总成本为：
$$P_j=\{\begin{array}{l}{k}_j+c_j{x}_j,当\end{array}$$