面试题 | 概率论_大学概率论有趣的题目

1 前言

最近笔试以及室友面试分享的一些概率题，自己抽空做了下，和大家分享一下~

2 笔试题

2.1 正确戴帽子问题

Q1：n个人将各自的帽子混在一起后任取一项,求恰有k个人拿对自己的帽子的概率？

思路：

• k个人拿对，那么剩下n-k个人全部拿错
• 拿对的概率很好求，就是一个排列的问题；而全部拿错怎么求呢？需要用到概率的加法公式
• 贝叶斯公式的转换
• 注意先把这k人要挑出来！

A1：

Q2：引申：

100个囚犯从前往后坐成一列。坐在最后面的那个囚犯能够看到其余99个囚犯，坐在最前面的 那个囚犯啥也看不见。看守给每个囚犯戴上一顶黑色的或者白色的帽子。然后，看守会从后往前依 次叫这些囚犯猜测自己头顶上的帽子的颜色。如果哪个囚犯猜对了，他就自由了。坐在前面的每一 个囚犯都可以听到后面的囚犯的猜测。如果这100个囚犯事先可以商量好一种策略，那么最理想的策略是什么？

A2：如果每个人都报前面人帽子的颜色，这样就暗示了前面人的答案。但下一个人如果想活命，就会说前一个说的，而不说下一个帽子是啥颜色，这样也不行啊，就是很纠结了。这就是第一种策略

• 策略1：每个人猜自己帽子的颜色就是前面人的，这样两个人一组！至少50人被释放！同时剩下50人中平均有25人会被放（因为要么黑帽子 要么白帽子，1/2概率正确），也就是75人！
• 策略2：至少能保证前面99人答对，最后一个人50%概率答对！

策略2具体实施：

• 最后一个人数前面99人的白帽子和黑帽子的个数，看是奇数还是偶数，并且大家伙事先约定好白与黑分别对应奇数还是偶数：比如商量白帽子为奇数，黑帽子为偶数！

• 最后一人数了前面99人的帽子，发现白色帽子数为奇数，黑色帽子为偶数！于是就随口说白或者黑，提示了前面99人所有帽子的整体情况！

• 倒数第二个人这时候干吗呢？也数前面98人的帽子颜色奇偶数，并且这时候已经知道包括自己在内的99人的帽子奇偶数。这时候数出来的结果无非有两种：即和99人的作差！

  • 白：奇数，黑：奇数；说明自己是黑色！
  • 白：偶数，黑：偶数；说明自己是奇数！
  • 方便分析，我们假设倒数第二个人说了自己是黑色！

• 倒数第三个人知道了倒数第二个人肯定会说对，于是作差一下，将整体的减去倒数第二个人的，也就是包括自己在内的98人 帽子数为：白色帽子数为奇数，黑色帽子为奇数。好了，有了这个关键信息，接下来重复工作，继续数前面97人帽子的黑白数，这样作差得到自己的了！

• 重复上述过程，这样前面每个人都能猜对！都可以释放！就是最后一个人只有50%的概率猜对了！让我们保佑他?

2.2 一个圆切5刀最多切几块？

16刀！具体见下图：

怎么做到的呢？使用递推公式：

• 设 n 条直线最多将平面分成 f(n) 个部分。

• 现再加一条直线，这条直线与前面 n 条直线最多有 n 个交点，这 n 个交点把这条直线可以分成 n+1 段，每段都把它所在的区域一分为二，因此新增加了 n+1 个区域，也就是说 f(n+1)=f(n)+n+1 。

• 注意 f(1)=2 ，因此 f(2)=f(1)+2=4 ，f(3)=f(2)+3=7 ，f(4)=f(3)+4=11，f(5)=f(4)+5=16 。

2.3 1-1000内随机取一个数，不能被6或8整除的概率是多少？

直观思路：

• 将1-1000之间能被6或者8整除的数找出来，总共有n个
• 故概率为 1 - n / 1000

那如何求n呢？

• 先把能被6整除的数找出来，总共有166个
• 再把能被8整除的数找出来，总共有124个
• 最后将两者的交集的个数取一半。即寻找24的倍数，交集总共有41个！
• 故n = 166+124-41 = 249

一旦n确定了，概率就有了，结果为 1 - 249 / 1000 = 0.751

2.4 abc是0-1之间的随机变量，形成锐角三角形的概率是多少？

思路：

• 形成锐角三角形的条件是什么？即三边长要满足什么条件呢？
• 然后a b c 各自的取值范围都是0-1。

【不会做！！！】【和同学交流一波！】

拓展：牛客上有一道题目是下面这样：

思路：从三角形最大角度为多少出发考虑！肯定是60-180之间，但只有什么范围内是锐角三角形呢？然后就到了古典概率！

答案：**A。**圆内接三角形的最大角至少要大于等于60度，该最大角的范围可从60到180度变化，但只有60到90间为锐角，所以占1/4.

变形：内接三角形是直角三角形的概率是多少呢？答案为0；内接三角形是钝角三角形的概率是多少呢？答案为3/4！

2.5 甲7-8点之间到车站，乙7-9点之间到车站，两人到车站时间相差半小时内的概率是多少？

思路：转化为面积之比即可！

答案：7/16！

2.6 三个变量两两之间的相关性都是r，r的取值范围是多少

思路：

• 相关性是r，r肯定是在0-1之间。而且可以取值取到0，即两两之间均不相关！
• 问题的核心点是如果变量1和变量2相关性为r1，变量1和变量3相关性位r2，那变量2和变量3的相关性为多少呢？

【不会做！】【和同学交流一波！】

2.7 100个球放到一百个箱子里，空箱子个数的期望是多少？

思路：

• 空箱子个数设为X，则X可能的取值范围为：0-99，分别求每一个的概率然后相乘相加即可！但是这样穷举太麻烦了！换个思路
• 由于每次放都是独立的！所以先考虑一个箱子为空的情况，然后再累加起来就ok了！设0-1！
  

问题抽象：K个球，M个空箱子。独立并且随机的把每个球放入空箱子中去。问最后，剩余空箱子的数目的期望是多少？

2.8 一个股票的初始价值是1，价值变化率服从期望为0但不恒为零的分布，问股票以概率1为0对吗，股票任何时候的期望都为0对吗

答案：前半部分正确，后半部分不对。即股票以概率1为0，同时股票任何时候的期望都为1

因为怎么操作都是不变的，而要保持增长所需要的是远大于0的平均变化率。也就是说，对于投机如炒股，平均值总是不变的，但大多数人会倾家荡产，因为愚蠢的人类难以保持一个远大于零的平均变化率。

【同时下面给出最后的两个知乎的链接里概率论的问题还是比较有趣的 有时间可以看看~】

3 参考

• 囚犯猜帽子问题 by 牛客： https://www.nowcoder.com/questionTerminal/c39aaa04981544518b125da654fd5f26
• 切圆：https://zhidao.baidu.com/question/1046183367530444979.html?fr=iks&word=5�������м���&ie=gbk
• 牛客拓展题三角形锐角：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/a0d05de7237541d8b62f79b05ad4c7c7
• 空箱子知乎：https://www.zhihu.com/question/34620836
• 股票知乎：https://www.zhihu.com/question/41408857/answer/100003445
• 股票：https://zhuanlan.zhihu.com/p/28491119