MATLAB非线性优化函数总结（一）

MATLAB非线性优化函数总结（二）.

fminbnd

• 寻找单变量函数在固定区间上的最小值。 即，在$x_1<x<x_2$范围内，为问题$mi{n}_{x}f(x)$找到一个最小化值；
• $x,x_1,x_2$为标量，$f(x)$为返回标量的函数；

语法

x = fminbnd(fun,x1,x2)
%返回标量函数在（x1,x2）范围内的局部最小值，用fun描述目标函数
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x = fminbnd(fun,x1,x2,options)
%用options.中指定的优化选项进行最小化，用optimset设置选项。
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x = fmin(problem)
%找到problem的最小值，problem中描述问题的结构。
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[x,fval] = fmin(__)
%对任何输入参数，返回目标函数用fun计算的在x处的值。
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[x,fval,exitflag] = fminbnd(___) 
%返回目标函数用fun计算的在x处的值之外，返回描述退出条件的值exitflag。
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[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(___) 
%除以上之外，返回一个包含优化信息的结构输出
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示例

1. sin(x)函数在0<x<2π范围内的最小值点：

fun = @sin;
x1 = 0;
x2 = 2*pi;
x = fminbnd(fun,x1,x2)
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2. 最小化指定的函数。

将函数写成文件，并将文件保存为scalarobjective.m。

function f = scalarobjective(x)
f = 0;
for k = -10:10
    f = f + (k+1)^2*cos(k*x)*exp(-k^2/2);
end
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x = fminbnd(@scalarobjective,1,3)
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fmincon

• 寻找有约束多变量函数的最小值；
• $mi{n}_{x}f(x)$ such that $$\{\begin{array}{r}c(x)\le 0\\ ceq(x)=0\\ A\cdot x\le b\\ Aeq\cdot x=beq\\ lb\le x\le ub\end{array}$$
  $b$和$beq$为向量，$A$和$Aeq$为矩阵，$c(x)$和$ceq(x)$为返回向量的函数，$f(x)$为返回标量的函数，$f(x)$、$c(x)$及$ceq(x)$都可为非线性函数。

语法

x = fmincon(fun,x0,A,b)
%从x0开始，在线性不等式A*x≤b的条件下找到目标函数的最小化x。
%x0可以是标量、向量或矩阵。
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x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
%在Aeq*x=beq和A*x≤b的线性等式约束下，使fun最小。
%若不存在不等式，设A=[]和b=[]。
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x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
%定义变量的下限和上限，x在lb ≤ x ≤ ub的范围内。
%如果不存在等价物，设Aeq=[]，beq=[]。
%若x(i)无下界，设lb(i)=-Inf，如果x(i)无上界，设ub(i)=Inf。
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x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
%在nonlcon中定义的非线性不等式或等式约束下进行最小化。
%fmincon优化，在nonlcon中使c(x)≤0，ceq(x)=0。
%若不存在上下界，设置lb = []，ub = []。
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x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
%用options中指定的优化选项来最小化。用optimoptions设置选项。
%若无非线性不等式或等式约束，设置nonlcon = []。
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x = fmincon(problem)
%找到problem的最小值，problem中描述了目标问题结构。
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[x,fval] = fmincon(___)
%对任何语法，返回解x处目标函数fun的值。
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[x,fval,exitflag,output] = fmincon(___)
%返回解x处目标函数fun的值之外，返回fmincon退出条件的值exitflag，以及一个包含优化过程信息的结构输出。
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[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(___)
%另外返回
 - lambda，解x处的拉格朗日乘子的结构。
 - grad，在解x处目标函数的梯度。
 - hessian，在解x处目标函数的海塞。
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示例

1. 线性不等式约束

Rosenbrock函数定义为$f(x)=100(x(2)-x(1{)}^2{)}^2+(1-x(1){)}^2$，约束条件$x(1)+2x(2)\le 1$。
从点$[-1,2]$开始求解，用$A=[1,2]$和$b=1$表达约束条件。

fun=@(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
x0 = [-1,2];
A = [1,2];
b = 1;
x = fmincon(fun,x0,A,b)
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2. 线性不等式约束和等式约束
   Rosenbrock函数定义为$f(x)=100(x(2)-x(1{)}^2{)}^2+(1-x(1){)}^2$，约束条件$x(1)+2x(2)\le 1$和$2x(1)+x(2)=1$。

fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
x0 = [0.5,0];
A = [1,2];
b = 1;
Aeq = [2,1];
beq = 1;
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
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