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矩阵的转置,即矩阵的行列进行互换。
A
=
[
1
2
3
4
5
6
]
A=
矩阵
A
A
A的转置
B
=
A
⊤
=
[
1
4
2
5
3
6
]
B=A^\top=
(
A
⊤
)
⊤
=
A
(
A
+
B
)
⊤
=
A
⊤
+
B
⊤
(
k
A
)
⊤
=
k
A
⊤
(
A
B
)
⊤
=
B
⊤
A
⊤
简单证明下性质
(
4
)
(4)
(4)
假设矩阵
A
:
(
m
,
r
)
A:(m,r)
A:(m,r),
m
m
m行
r
r
r列;矩阵
B
:
(
r
,
n
)
B:(r,n)
B:(r,n),
r
r
r行
n
n
n列。
令矩阵
C
=
A
B
C=AB
C=AB
C
i
j
=
A
r
o
w
i
B
c
o
l
j
C_{ij}=A_{row_i}B_{col_j}
Cij=ArowiBcolj
矩阵
C
C
C的形式为
C
=
[
A
r
1
B
c
1
A
r
1
B
c
2
.
.
.
.
A
r
1
B
c
n
A
r
2
B
c
1
A
r
2
B
c
2
.
.
.
.
A
r
2
B
c
n
.
.
.
A
r
m
B
c
1
A
r
m
B
c
2
.
.
.
.
A
r
m
B
c
n
]
C=
则矩阵
C
C
C的转置为
C
⊤
=
[
A
r
1
B
c
1
A
r
2
B
c
1
.
.
.
.
A
r
m
B
c
1
A
r
1
B
c
2
A
r
2
B
c
2
.
.
.
.
A
r
m
B
c
2
.
.
.
A
r
1
B
c
n
A
r
m
B
c
2
.
.
.
.
A
r
m
B
c
n
]
=
[
B
c
1
A
r
1
B
c
1
A
r
2
.
.
.
.
B
c
1
A
r
m
B
c
2
A
r
1
B
c
2
A
r
2
.
.
.
.
B
c
2
A
r
m
.
.
.
B
c
n
A
r
1
B
c
2
A
r
m
.
.
.
.
B
c
n
A
r
m
]
=
B
⊤
A
⊤
简单来说就是
C
⊤
C^{\top}
C⊤的
i
i
i行
j
j
j列是
C
C
C的第
j
行
j行
j行第
i
i
i列;
所以
C
⊤
C^{\top}
C⊤的一行对应
C
C
C的一列,而列是由
B
B
B形成的,所以把它放在前面转置,
A
A
A也转置放后面。
矩阵性质
验证:
A B B − 1 A − 1 = A ( B B − 1 ) A − 1 = A I A − 1 = I B − 1 A − 1 A B = B − 1 ( A − 1 A ) B = B − 1 I B = I ABB^{-1}A^{-1} =A(BB^{-1})A^{-1} =AIA^{-1} =I\\ B^{-1}A^{-1}AB =B^{-1}(A^{-1}A)B =B^{-1}IB =I ABB−1A−1=A(BB−1)A−1=AIA−1=IB−1A−1AB=B−1(A−1A)B=B−1IB=I
证明
A A − 1 = I ( A A − 1 ) ⊤ = I ( A − 1 ) ⊤ A ⊤ = I ( A − 1 ) ⊤ = ( A ⊤ ) − 1 AA^{-1}=I\\ (AA^{-1})^{\top} = I\\ (A^{-1})^{\top}A^{\top} =I\\ (A^{-1})^{\top} =(A^{\top})^{-1} AA−1=I(AA−1)⊤=I(A−1)⊤A⊤=I(A−1)⊤=(A⊤)−1
L
L
L指的是下三角矩阵的意思;
U
U
U指的是上三角矩阵的意思;
举例子
A
=
[
2
1
8
7
]
A=
普通消元
E
21
A
=
U
[
1
0
−
4
1
]
[
2
1
8
7
]
=
[
2
1
0
3
]
E_{21}A=U\\
我们将
E
21
E_{21}
E21放到矩阵右边去
E
21
A
=
U
E
21
−
1
E
21
A
=
E
21
−
1
U
A
=
L
U
[
2
1
8
7
]
=
[
1
0
4
1
]
[
2
1
0
3
]
E_{21}A=U\\ E_{21}^{-1}E_{21}A=E_{21}^{-1}U\\ A=LU\\
如果再将
U
U
U主对角线化,就变为
A
=
L
D
U
[
2
1
8
7
]
=
[
1
0
4
1
]
[
2
0
0
3
]
[
1
1
2
0
1
]
A=LDU\\
假设不存在行交换的情况;
对于
E
A
=
U
EA=U
EA=U
E
32
E
21
=
E
[
1
0
0
0
1
0
0
−
5
1
]
[
1
0
0
−
2
1
0
0
0
1
]
=
[
1
0
0
2
1
0
10
−
5
1
]
E_{32}E_{21}=E\\
而对于
A
=
L
U
A=LU
A=LU
L
=
E
21
−
1
E
32
−
1
[
1
0
0
2
1
0
0
0
1
]
[
1
0
0
0
1
0
0
5
1
]
=
[
1
0
0
2
1
0
0
5
1
]
L=E_{21}^{-1}E_{32}^{-1}\\
在 E A = U EA=U EA=U的分解中,前面的行变换会影响到后续的行变化,出现了 E 31 = 10 E_{31}=10 E31=10的情况;
而这在 A = L U A=LU A=LU分解中不会出现,且只需要填上消元乘数即可。
不考虑行变化。
考虑
n
∗
n
n * n
n∗n的方阵
A
A
A化为上三角矩阵的操作次数。
考虑第一列上三角化,即消去第一列非
a
11
a_{11}
a11的元素,执行的操作大概为
n
2
n^{2}
n2次
每次行变化涉及
n
n
n次操作,
n
−
1
n-1
n−1行需要消去第一行;即为
n
(
n
−
1
)
n(n-1)
n(n−1)近似
n
2
n^2
n2;
A
=
[
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
a
21
a
22
.
.
.
a
2
n
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
2
.
.
.
a
n
n
]
⟶
[
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
0
a
22
.
.
.
a
2
n
.
.
.
.
.
.
0
a
n
2
.
.
.
a
n
n
]
A=
第一列完成上三角化后,后续就是
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1)(n-1)
(n−1)(n−1)矩阵的第一列上三角化。
重复该操作直到矩阵
A
A
A上三角化。操作次数
C
n
t
=
∑
k
=
1
n
k
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
≈
1
3
n
3
Cnt=\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \approx \frac{1}{3}n^3
Cnt=k=1∑nk2=6n(n+1)(2n+1)≈31n3
其实也可以用积分来求
∫
1
n
k
2
d
x
=
1
3
k
3
+
c
\int_1^{n}k^2 dx=\frac{1}{3}k^3+c
∫1nk2dx=31k3+c
积分其实就是连续情况的求和。
对于右侧操作数
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b,操作次数大约为
n
2
n^2
n2次。
(
∑
i
=
1
n
−
1
n
=
n
(
n
−
1
)
2
\sum_{i=1}^{n-1}n=\frac{n(n-1)}{2}
∑i=1n−1n=2n(n−1))
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