RMT的动态规划笔记_如果选择了i就不能选择i+1和i-1

笔记1

笔记对应b站视频BV1bb411t7FK

1. 选数凑和问题

题目

有若干个数，从中选取一些数使得总和最大，要求是不可以选取相邻的数，问应当怎样选？

思路

采用递归思想，当有i个数时，有两种选法，如果选择了第i个数，那么就不能选择第i-1个数，下一步就只能从第i-2个数及以前选择。但是如果不选第i个数，下一步就可以选第i-1个数，也就是将问题转化成了有i-1个数时的情况。由此，便可以按照递归的方式进行解题。

def find_max_sum(n_list):
	if len(n_list) == 1:
		return n_list[0]
	if len(n_list) == 2:
		return max(*n_list)
	return max(find_max_sum(n_list[:-1]), n_list[-1]+find_max_sum(n_list[:-2]))
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2.选硬币凑钱问题

题目

有若干种面值的硬币，按照面值由小到大排列。现在给出一个金额，不限制每种硬币拿取的数量，问怎样拿硬币，使得硬币的个数最少，而能够刚好达到需要的金额？

思路

这个问题相当于先拿取一枚某一种面值的硬币，然后需要达到的金额就变成了总金额减去这枚硬币的金额，从而变成了一个子问题，可以用递归解决。以下是一个例子。

coins = [1,3,5]

def find(total):
	if total < 0:
		return 9999
	if total == 0:
		return 0
	if total == 1:
		return 1
	return min(find(total-1)+1, find(total-3)+1, find(total-5)+1)


print(find(23))
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笔记2

对应B站视频BV1xb411e7ww

引言：矩阵网格问题

给定一个矩阵网格，一个机器人从左上角出发，每次可以向下或向右走一步，有多少种方式走到右下角？输出所有走到右下角的路径。

其中前一个问题应当使用动态规划，后一个问题使用递归来做（DFS）。

动态规划题目特点

1、计数题
有多少种方式走到右下角
有多少种方法选出k个数使得和是sum

2、最值题
从左下角走到右上角路径的最大数字和
最长上升子序列长度

3、存在题
取石子游戏，先手是否必胜
能不能选出K个数使得和是sum

最值题：coin change问题

有三种硬币，2元、5元、7元，每种硬币都有足够多，用最少的硬币数凑出某个金额（如27）
看到“最少”字样，想到动态规划

解题：

1. 确定状态

状态在动态规划中的作用是定海神针，解题的时候需要开一个数组，数组的每个元素代表什么？（类似于设未知量）
确定状态需要两个意识：

最后一步：如，除去最后一枚硬币，剩余的硬币面值的总和一定是$sum-a_k$

• 不关心前面的k-1枚硬币是怎么拼的，但确定面值的总和
• 前面的硬币数一定要最少，一定是最少的

子问题：现在的问题转化成了最少用多少枚硬币拼出$sum-a_k$的面值，这个问题与原问题类似，但是规模更小，这就叫子问题。

假定最优类的问题，只要找到最优子问题，就可以使用动态规划去尝试解题。

定义问题f，f(X)表示凑出面值X的最少硬币数，则有：

f(27) = min(f(27-2)+1, f(27-5)+1, f(27-7)+1)
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首先，用递归来解题：

def f(X):
    if X == 0:
        return 0  # 0元钱只需要0枚硬币
    res = float('inf')  # 初始化使用无穷大， 同时暗含了负数与1的情况
    if X >= 2:
        res = min(f(X 
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