动态规划经典问题之求解完全背包问题_有重量和价值分别为 wi ( 1 ≤ wi ≤ 1015 )、vi ( 1 ≤ vi ≤ 1015

求解完全背包问题

一、【问题描述】
有n中重量和价值分别为wi、vi（1<=i<=n)的物品，从这些物品中挑选总重量不超过w的物品，求出挑选物品总价值和最大的挑选方案，这里每种物品可以挑选多件。

二、【问题求解】

1.设置动态规划二维数组dp，dp[i][j]表示从前i个物品中选出重量不超过j（或者剩余容量为j)的物品的最大总价值。
①显然有边界条件：dp[i][0]=0(背包不能装入任何物品时，总价值为0），dp[0][j]=0（没有任何物品可装入时，总价值为0），可以采用memset函数一次性初始化为0.
②另外设置二维数组fk，其中fk[i][j]存放dp[i][j]得到最大值时物品i挑选的件数。

2.状态转移方程

这样，dp[n][W]便是背包容量为W、考虑所有n个物品（同一物品允许多次选择）后得到的背包最大价值，即问题的最优结果。

接下来用一个例子来加深理解其机理：

题目：
例如一个完全背包问题，n=4，w={3，2，6，2}，v={7，2，5，3}（下标从1开始），W=9。求出dp数组和fk数组，及描绘出由dp[4][9]求最优解过程。

解答：我们可以由上述得到数组dp[i][j]和fk[i][j]
fk[i][j]:
dp[i][j]：

回推过程：
（1）i=4,dp[4][9]=21,fk[4][9]=0,物品4挑选了0件。
（2）i=3,dp[3][9]=21,fk[3][9]=0,物品3挑选了0件。
（3）i=2,dp[2][9]=21,fk[2][9]=0,物品2挑选了0件。
（4）i=1,dp[1][9]=21,fk[1][9]=3,物品1挑选了3件。

仔细了解了推导过程之后接下来查看代码实现：

//求解完全背包问题的算法
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 20				//最多物品数
#define MAXW 100			//最大限制重量
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
//问题表示
int n,W;
int w[MAXN],v[MAXN];
//求解结果表示
int dp[MAXN+1][MAXW+1],fk[MAXN+1][MAXW+1];
int solve()					//求解多重背包问题
{
	int i,j,k;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		for (j=0;j<=W;j++)
			for (k=0;k*w[i]<=j;k++)
			{
				if (dp[i][j]<dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i])
				{
					dp[i][j]=dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i];
					fk[i][j]=k;		//物品i取k件
				}									
			}
	}
	return dp[n][W];
}
void Traceback()				//回推求最优解
{
	int i=n,j=W;
	while (i>=1)
	{
		printf("物品%d共%d件 ",i,fk[i][j]);
		j-=fk[i][j]*w[i];		//剩余重量
		i--;
	}
	printf("\n");
}
void prin(){   //查看dp数组与fk数组 
	int i,j,k;
	printf("fk[i][j]:\n");
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		for (j=0;j<=W;j++){
			printf("%d ",fk[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	printf("dp[i][j]:\n");
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		for (j=0;j<=W;j++){
			printf("%d ",dp[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}
int main()
{
	w[1]=3; w[2]=2; w[3]=6;w[4]=2;
	v[1]=7; v[2]=2; v[3]=5;v[4]=3;
	n=4; W=9;
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	memset(fk,0,sizeof(fk));
	printf("最优解:\n");
	printf("  总价值=%d\n",solve());
	printf("  方案: ");Traceback();
	printf("\n");
	prin();
	return 0;
}
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在如上代码中有添加debug部分，可以自行运行进行观察。

改进算法：实际上，上述算法可以不必使用k循环，可以修改为在挑选物品i时直接多次重复挑选，因为计算dp[i][j]中选择k（k>=1)个的情况与在dp[i][j-w[i]]的计算中选择k-1的情况是相同的，所以dp[i][j]的递推中k>=1部分的计算已经在dp[i][j-w[i]]的计算中完成了，如下是改进算法的代码，多余部分进行了注释。

//求解完全背包问题的算法
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 20				//最多物品数
#define MAXW 100			//最大限制重量
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
//问题表示
int n,W;
int w[MAXN],v[MAXN];
//求解结果表示
int dp[MAXN+1][MAXW+1],fk[MAXN+1][MAXW+1];
int solve()					//求解多重背包问题
{
	int i,k,j;
	for (i=1;i<=n;i++)
		for (j=0;j<=W;j++)
			if (j<w[i])
				dp[i][j]=dp[i-1][j];
			else
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
	return dp[n][W];		//返回总价值
}
//void Traceback()				//回推求最优解
//{
//	int i=n,j=W;
//	while (i>=1)
//	{
//		printf("物品%d共%d件 ",i,fk[i][j]);
//		j-=fk[i][j]*w[i];		//剩余重量
//		i--;
//	}
//	printf("\n");
//}
void prin(){   //查看dp数组与fk数组 
	int i,j,k;
//	printf("fk[i][j]:\n");
//	for (i=1;i<=n;i++)
//	{
//		for (j=0;j<=W;j++){
//			printf("%d ",fk[i][j]);
//		}
//		printf("\n");
//	}
	printf("dp[i][j]:\n");
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		for (j=0;j<=W;j++){
			printf("%d ",dp[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}
int main()
{
	w[1]=3; w[2]=2; w[3]=6;w[4]=2;
	v[1]=7; v[2]=2; v[3]=5;v[4]=3;
	n=4; W=9;
	memset(dp,0,sizeof(dp));
//	memset(fk,0,sizeof(fk));
//	printf("最优解:\n");
	printf("  总价值=%d\n",solve());
//	printf("  方案: ");Traceback();
//	printf("\n");
	prin();
	return 0;
}
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博文参考自《算法设计与分析》李春葆第二版