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题目链接:96. 不同的二叉搜索树
给你一个整数 n
,求恰由 n
个节点组成且节点值从 1
到 n
互不相同的 二叉搜索树 有多少种?返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1:
输入:n = 3 输出:5
示例 2:
输入:n = 1 输出:1
提示:
1 <= n <= 19
文章讲解:代码随想录
视频讲解:动态规划找到子状态之间的关系很重要!| LeetCode:96.不同的二叉搜索树_哔哩哔哩_bilibili
思路:将任意一个节点作为根节点,设左子树节点数为 j,则右子树节点数为 n - j,左子树的数量相当于 j 个节点组成的二叉搜索树数量,右子树的数量相当于 n - j 个节点组成的二叉搜索树的数量,左子树为 j 时二叉搜索数的数量即为 j 和 n - j 个节点组成的二叉搜索树数量乘积。n 个节点的二叉搜索树数量即为 j 从0到n - 1时左子树为 j 个节点时时二叉搜索数的数量和,n 的状态依赖于 j 从 0 到 n - 1 时 j 的状态和 n - j 的状态,因此可以使用动态规划法。
动态规划分析:
- /**
- * @param {number} n
- * @return {number}
- */
- var numTrees = function(n) {
- const dp = new Array(n + 1).fill(0);
- dp[0] = 1;
- for (let i = 1; i <= n; i++) {
- // 以任意一个节点为头节点,设左子树节点数为 j,则右子树节点数为 i - j - 1
- let j = 0;
- while (j <= i / 2 - 1) {
- dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1] * 2;
- j++;
- }
- if (i % 2 === 1) {
- dp[i] += dp[j] * dp[j];
- }
- }
- return dp[n];
- };
分析:时间复杂度为 O(n²),空间复杂度为 O(n)。
本题的难点在于想到要使用动态规划法以及递推公式的分析,n 的状态依赖于前面所有数的状态。
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