区间dp_区间dp用的思想

一、定义

区间DP，顾名思义是在区间上DP，它的主要思想就是先在小区间进行DP得到最优解，然后再利用小区间的最优解合并求大区间的最优解。

二，思路

区间动态规划问题一般都是考虑，对于每段区间，他们的最优值都是由几段更小区间的最优值得到，是分治思想的一种应用，将一个区间问题不断划分为更小的区间直至一个元素组成的区间，枚举他们的组合 ，求合并后的最优值。
设F[i,j]（1<=i<=j<=n）表示区间[i,j]内的数字相加的最小代价
最小区间F[i,i]=0（一个数字无法合并，∴代价为0）

每次用变量k（i<=k<=j-1）将区间分为[i,k]和[k+1,j]两段

For l:=1 to n do // l是区间长度，作为阶段。 
for i:=1 to n do // i是穷举的区间的起点
begin
j:=i+l-1; // j是 区间的终点，这样所有的区间就穷举完毕
if j>n then break; // 这个if很关键。
for k:= i to j-1 do // 状态转移，去推出 f[i,j]
f[i , j]= max{f[ i,k]+ f[k+1,j]+ w[i,j] } 
end; 
这个结构必须记好，这是区间动态规划的代码结构。
 

伪代码：

//mst(dp,0) 初始化DP数组
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    dp[i][i]=初始值
}
for(int len=2;len<=n;len++)  //区间长度
for(int i=1;i<=n;i++)        //枚举起点
{
    int j=i+len-1;           //区间终点
    if(j>n) break;           //越界结束
    for(int k=i;k<j;k++)     //枚举分割点，构造状态转移方程
    {
        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j]);
    }
}

三，经典例题

 

                                                            石子合并

 

描述 

有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

输入

有多组测试数据，输入到文件结束。
每组测试数据第一行有一个整数n，表示有n堆石子。
接下来的一行有n（0< n <200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开

输出

输出总代价的最小值，占单独的一行

样例输入

3

1 2 3

7

13 7 8 16 21 4 18

样例输出

9

239

要求n个石子归并，我们根据dp的思想划分成子问题，先求出每两个合并的最小代价，然后每三个的最小代价，依次知道n个。

定义状态dp [ i ] [ j ]为从第i个石子到第j个石子的合并最小代价。

那么dp [ i ] [ j ] = min(dp [ i ] [ k ] + dp [ k+1 ] [ j ]) 

那么我们就可以从小到大依次枚举让石子合并，直到所有的石子都合并。

这个问题可以用到平行四边形优化，用一个s【i】【j】=k 表示区间 i---j 从k点分开才是最优的，这样的话我们就可以优化掉一层复杂度，变为O（n^2）.

代码如下：

 
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define rush() int T;scanf("%d",&T);while(T--)
 
typedef long long ll;
const int maxn = 205;
const ll mod = 1e9+7;
const ll INF = 1e18;
const double eps = 1e-9;
 
int n,x;
int sum[maxn];
int dp[maxn][maxn];
 
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        sum[0]=0;
        mst(dp,0x3f);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            sum[i]=sum[i-1]+x;
            dp[i][i]=0;
        }
        for(int len=2;len<=n;len++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int j=i+len-1;
            if(j>n) continue;
            for(int k=i;k<j;k++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[1][n]);
    }
    return 0;
}

【平行四边形优化】

上面的代码运行时间在240ms左右，通过这题完全没问题，但我们还可以考虑优化。

由于状态转移时是三重循环的，我们想能否把其中一层优化呢？尤其是枚举分割点的那个，显然我们用了大量的时间去寻找这个最优分割点，所以我们考虑把这个点找到后保存下来

用s[i][j]表示区间[i,j]中的最优分割点，那么第三重循环可以从[i,j-1)优化到【s[i][j-1],s[i+1][j]】。(这个时候小区间s[i][j-1]和s[i+1][j]的值已经求出来了，然后通过这个循环又可以得到s[i][j]的值)。

代码如下：

 
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define rush() int T;scanf("%d",&T);while(T--)
 
typedef long long ll;
const int maxn = 205;
const ll mod = 1e9+7;
const ll INF = 1e18;
const double eps = 1e-9;
 
int n,x;
int sum[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int s[maxn][maxn];
 
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        sum[0]=0;
        mst(dp,0x3f);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            sum[i]=sum[i-1]+x;
            dp[i][i]=0;
            s[i][i]=i;
        }
        for(int len=2;len<=n;len++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int j=i+len-1;
            if(j>n) continue;
            for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++)
            {
                if(dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]<dp[i][j])
                {
                    dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[1][n]);
    }
    return 0;
}

时间【32ms】

 

以下是一些参考资料

石子归并，括号匹配，整数划分

https://blog.csdn.net/y990041769/article/details/24194605

 

石子合并（三） 环形合并

https://blog.csdn.net/qq_36183935/article/details/70808356

 

四边形不等式优化_石子合并问题_C++

https://www.cnblogs.com/hadilo/p/5800306.html

动态规划加速原理之四边形不等式

https://wenku.baidu.com/view/c44cd84733687e21af45a906.html