关于二重积分，三重积分的理解_二重积分是质量吗

最近凭着我狗屎一样的数学啃了好长时间的二重积分和三重积分，记录一下自己对此的理解：

对于积分，只是一重定积分的话可以理解为一块图形的面积，取极小的一块区域计算面积然后遍及到整个图像，对图像区域取极限得到面积就是一重定积分的几何意义。

而将上述方式推导到二重积分就是：已知一块面积，以及一个空间曲面，将这块面积堆叠取极限，使其与空间曲面契合，这里使用穿线法计算边界。

常常不理解，二重积分是空间曲顶柱体的体积，那么曲顶柱体的高是什么？

其实按照上面的说法，这个曲顶柱体的高就是f(x, y)，某一点的高肯定是能求出来的，但在二重积分的体积计算上并不拘泥于某一点的高。

就像是一重定积分的计算上所围平面的差值并不要逐个求解，只需了解积分区域边缘的函数图像的差值：f( x1 ) -  f( x2 ) 那样，二重积分的高就是曲面减底面！如果这个曲面全部在原点平面（空间直角坐标系）上，就是f (x, y)的值！如果有一部分在原点平面之下，计算下来会和原点平面之上的体积值抵消一部分。

二重积分的物理意义是平面薄片的质量，而经常能得到的函数f(x, y)表示的是这一薄片的密度函数。

上述几何意义将此描述为平面的高度，如果将几何意义某一点的高度解释为这一点密度值（可以想象一下将曲顶柱体的高全投影到底面上，不同高度的值用不同颜色标出，像等高线一样，得到平面的密度可视化图像）。

二重积分的f (x, y)图像就已经是空间曲面了，三重积分f (x, y, z)还要多出来一个维度计算量也瞬间爆炸。

三重积分像是在二重积分的基础上增加了一个维度，这个维度可以代表着密度，亦可以用在其他的抽象计算上。

三重积分的物理意义是密度不均的空间物体的质量，f(x, y, z)也就是这个空间物体的密度函数。