自然语言处理-统计语言模型（数学之美）_自然语言处理模型有能力应用统计推理模型

简述

一个句子是否合理，就看他的可能性大小如何。
概括来说：假定S表示某一个有意义的句子，由一连串特定顺序排列的词$w_1,w_2,...,w_n$组成，这里的n表示句子的长度。则概率P(S)表示上面句子的合理性。

$$P(S)=P(w_1,w_2,...,w_n)$$
利用条件概率公式：
$$P(w_1,w_2,...,w_n)=P(w_1)P(w_2|w_1)P(w_3|w_1,w_2)...P(w_n|w_1,w_2,...,w_{n-1})$$
上式中， $P(w_1)$表示第一个词出现的概率， $P(w_2|w_1)$是在已知第一个词的前提下，第二个词出现的额概率，以此类推。简答的看一下上面的公式，可以发现除了 $P(w_1)$以及后面的 $P(w_2|w_1)$比较好算以外，其他的项计算难度都比较大。
俄国科学家马尔科夫给出了一个假设—–假设任意一个词 $w_t$出现的概率只同它前面的词 $w_{t-1}$有关。于是上面的公式就可以简化为：
$$P(w_1,w_2,...,w_n)=P(w_1)P(w_2|w_1)P(w_3|w_2)...P(w_n|w_{n-1})$$
上式对应的统计语言模型是 二元模型。
对于上面公式的求解，可以利用贝叶斯公式：
$$P(w_i|w_{i-1})=P(w_{i-1},w_i)/P(w_{i-1})$$
其中 $P(w_{i-1},w_i)$可以用样本的相对频率(样本数量足够)来统计。具体公式如下：
$$P(w_{i-1},w_i)= N(w_{i-1},w_i) / N(w_{i-1})$$
其中 $N(w_{i-1},w_i)$代表在样本中 $w_{i-1},w_i$和前后相邻出现了多少次。 $N(w_{i-1})$表示在样本中 $w_{i-1}$出现了多少次。

延伸

• 高阶语言模型：假定文本中的没个词$w_i$和前面的N-1个词有关，而与更前面的词无关，这样当前词$w_i$的概率只取决于前面N-1个词$P(w_{i-N+1},w_{i-N+2},...,w_{i-1})$，因此：
  

  $$P(w_i|w_1,w_2,...,w_{i-1})=P(w_i|w_{i-N+1},w_{i-N+2},...,w_{i-1})$$
  上式对应的就是N元模型（N-Gram Model）.

• 对于上面介绍的模型，比如说二元模型，假设样本中$N(w_i,w_{i-1})$出现的词数为0，这样的话能否说明$P(w_i|w_{i-1})$概率为0。答案是否定的。对于未出现的事件，我们怎么处理？？1953年古德和图灵给出了一个概率计算公式。

• 古德-图灵估计得原理：对于没有看见的事件，我们不能认为它发生的概率就是零，因此我们从概率的总量中，分配一个很小的比例给这些没有看见的事件。这样一来，看见的那些事件的概率总和就要小于1了，因此，需要将所有看见的事件概率调小一点。至于小多少，要根据“越是不可信的统计折扣越多”的方法进行。
• 举例：假定在语料库中出现r次的词有$N_r$个，特别的，未出现的词数量为$N_0$。语料库的大小为N。那么：
  
  $$N = \sum_{r=1}^\infty rN_r$$
  出现r次的词在整个语料库中的相对频率则是$rN_r/N$,如果不做任何优化处理，就以这个相对频度作为这些词的概率估计。古德-图灵估计按照下面的公式计算$d_r$:
  
  $$d_r=(r+1)N_{r+1}/N_r$$
  显然:
  
  $$\sum_r d_rN_r=N$$
  一般来说，出现一次的词的数量比出现两次的多，出现两次的比出现三次的多。这种规律成为zipf规律。所以r越大，词的数量$N_r$越小，即$N_{r+1}<N_r$，因此，一般情况下，$d_r<r$,而$d_0>0$。这样的话就给未出现的词赋予了一个很小的非零值，从而解决了零概率的问题，同时下调了出现频率很低的词的概率。当然在实际应用中，一般对出现次数超过某个阈值的词，频率不下调，只对出现次数低于这个阈值的词，频率才下调，下调得到的频率总和给未出现的词。这样子的话出现r次的词的概率估计为$d_r/N$。
• 按照上面的介绍，二元组$(w_{i-1},w_i)$的条件概率估计$P(w_i|w_{i-1})$也可以做同样的处理。对于二元组来说，所有可能的情况的概率总和应该为1，即：
  
  $$\sum_{w_i\in V}P(w_i|w_{i-1})=1$$
  对于出现次数少的二元组，按照古德-图灵的方法打折扣：
  
  $$P(w_i|w_{i-1})= \left\{ \begin{array}{rcl} f(w_i|w_{i-1}) & & {if \ N(w_{i-1},w_i)\geq T}\\ f_{gt}(w_i|w_{i-1}) & & {if \ 0 \leq N(w_{i-1},w_i)\leq T}\\ Q(w_{i-1})f(w_i) & & {otherwise}\\ \end{array} \right.$$
  其中，$f_{gt}()$表示经过古德-图灵估计后的相对频率，而
  
  $$Q(w_{i-1})=(1-\sum_{w_i \ seen}P(w_i|w_{i-1}))/\sum_{w_i \ unseen}f(w_i)$$
  这种平滑的方式，最早由IBM的数学家卡茨提出，故称为卡茨退避法。