【复习笔记】二重积分_二重积分保号性

目录

一、二重积分的概念

二、性质

三、对称性

1、普通对称性(奇偶性)

2、轮换对称性

四、计算

1、直角坐标系

2、极坐标

3、极坐标与直角坐标选择的一般原则

4、极坐标直角坐标系互化

5、积分次序

6、二重积分解决一元积分问题

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一、二重积分的概念

定义：设一个函数$z=f(x,y)$，在有界闭区域$D$（一个面）上有定义，

将区域$D$任意分成$n$个小闭区域（微分），其中$\Delta \sigma _{i}$表示第$i$个小区域，也表示它的面积，

在每个$\Delta \sigma _{i}$范围内，任取一点$(x_{i}, y_{i})$,作乘积$f(x_{i}, y_{i})\Delta \sigma _{i}$并在区域内求和，$\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}, y_{i})\Delta \sigma _{i}$，

使每个区域都趋于无穷小，求极限，若极限存在，则称此极限值为函数在区域上的二重积分，记为

$\iint_{}^{}f(x,y)d\sigma =\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}, y_{i})\Delta \sigma _{i}$。

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二、性质

1、求区域面积，$\iint_{}^{}d\sigma =A$，A为区域$D$的面积；

2、可在区域$D$内进行二重积分的函数，在区域$D$内必有界；

3、二重积分的线性性质$\iint_{}^{}[k_{1}f(x,y)\pm k_{2}g(x,y)]d\sigma =k_{1}\iint_{}^{}f(x,y)d\sigma\pm k_{2}\iint_{}^{}g (x,y)d\sigma$；

4、二重积分的可加性，可以把积分区域拆分，分别积分。$D\rightarrow D_{1}+D_{2}$；

5、积分的保号性：

（1）比较函数大小，若在区域$D$内有$f(x,y)\leqslant g(x,y)$，则在区域内的积分的大小关系不变；

（2）估值定理，若在区域$D$上，$m\leqslant f(x,y)\leqslant M$，则有$m\sigma \leqslant \iint_{}^{}f(x,y)d\sigma \leqslant M\sigma$，$\sigma$为区域面积，一般用于证明；

（3）$\left | \iint_{}^{}f(x,y)d\sigma \right |\leqslant \iint_{}^{}\left | f(x,y) \right |d\sigma$，几何意义相当于有高度的正负，取绝对值即为体积；

6、中值定理：设函数$z=f(x,y)$在闭区域$D$上连续，A为区域$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi ,\eta )$，使得$\iint_{}^{}f(x,y)d\sigma=f(\xi ,\eta )\cdot A$，对比$\left ( \int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi) (b-a) \right )$；

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三、对称性

        二重积分的几何背景是曲顶柱体的体积，是利用了微分的方法，把不规则的曲顶柱体分成一个个近似小长条柱体，再把区域内所有的部分加起来，得到整个曲顶柱体的体积。基于这个思路，对二重积分的对称性展开讨论。

1、普通对称性(奇偶性)

（1）设区域$D$关于$y$轴对称，取对称点$(x,y),(-x,y)$，对称点处的高分别为$f(x,y),f(-x,y)$，当高相等时，对称两边体积相同，只需计算一边；当高互为相反数时，“体积”相反，加起来正好为0；

$\iint_{D}^{}f(x,y)dxdy=\left\{\begin{matrix} 2\iint_{D^{_{1}}{}}^{}f(x,y) dxdy,&f(x,y)=f(-x,y) & \\ 0,&f(x,y)=-f(-x,y) & \end{matrix}\right.$

（2）区域关于$x$轴对称时也是同理，在计算前应先考虑能否利用对称性简化计算；

（3）在三重积分时也具有这样的性质。

2、轮换对称性

若把字母$x,y$对调之后，区域$D$不变，或区域$D$关于$y=x$对称，则

$\iint_{}^{}f(x,y)d\sigma =\iint_{}^{}f(y,x)d\sigma$

主要用在凑出$x^{2}+y^{2}$等便于利用极坐标系简化计算

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四、计算

1、直角坐标系

（1）先积$y$后$x$，

$\iint_{}^{}f(x,y)d\sigma =\int_{a}^{b}dx\int_{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}f(x,y)dy$

（2）先积x后y，

$\iint_{}^{}f(x,y)d\sigma =\int_{a}^{b}dy\int_{\varphi _{1}(y)}^{\varphi _{2}(y)}f(x,y)dx$

2、极坐标

$\iint_{}^{}f(x,y)d\sigma =\int_{\alpha }^{\beta }d\theta \int_{\varphi _{1}(\theta )}^{\varphi _{2}(\theta )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ){\color{Red} \rho d\rho }$

(扇形所对应的弧长，$l=r\theta$)

3、极坐标与直角坐标选择的一般原则

看被积函数是否含有$x^{2}+y^{2}$等可简化计算，积分区域是否为圆或圆的一部分。原则上来说直角坐标系和极坐标系可以互化，只是计算量有时候某一个坐标系会方便一点。

4、极坐标直角坐标系互化

5、积分次序

在遇到原函数无法表达出来的时候，可以试着改变一下积分次序，换一个字母先求原函数可能更加简便一点。

6、二重积分解决一元积分问题

持续补充中