2024的新宠儿——Mamba(2):从SSM到S4的升级之路_mamba s4的实现

SSM到S4的三步升级：离散化SSM、循环/卷积表示、基于HiPPO处理长序列

离散数据的连续化：基于零阶保持技术做连续化并采样

由于除了连续的输入之外，还会通常碰到离散的输入(如文本序列)，不过，就算SSM在离散数据上训练，它仍能学习到底层蕴含的连续信息，因为在SSM眼里，sequence不过是连续信号signal的采样，或者说连续的信号模型是离散的序列模型的概括

那模型如何处理离散化数据呢？答案是可以利用零阶保持技术(Zero-order hold technique)

1. 首先，每次收到离散信号时，我们都会保留其值，直到收到新的离散信号，如此操作导致的结果就是创建了 SSM 可以使用的连续信号
2. 保持该值的时间由一个新的可学习参数表示，称为步长(siz)—— ，它代表输入的阶段性保持(resolution)
3. 有了连续的输入信号后，便可以生成连续的输出，并且仅根据输入的时间步长对值进行采样

这些采样值就是我们的离散输出，且可以针对A、B按如下方式做零阶保持(做了零阶保持的在对应变量上面加了个横杠)

最终使我们能够从连续 SSM 转变为离散SSM，使得不再是函数到函数x(t) → y(t)，而是序列到序列xₖ → yₖ，所以你看到，矩阵和现在表示模型的离散参数，且这里使用，而不是来表示离散的时间步长

注意：我们在保存时，仍然保存矩阵的连续形式(而非离散化版本)，只是在训练过程中，连续表示被离散化(During training, the continuous representation is discretized)

循环结构表示：方便快速推理

总之，离散 SSM 允许可以用离散时间步长重新表述问题

在每个时间步，都会涉及到隐藏状态的更新(比如取决于和的共同作用结果，然后通过预测输出)

为方便大家理解其中的细节，我再展开一下

有没有眼前一亮？如此，便可以RNN的结构来处理

然后可以这样展开(其中，始终是和的共同作用之下更新的)

卷积结构表示：方便并行训练

在经典的图像识别任务中，我们用过滤器(即卷积核kernels)来导出聚合特征，而SSM也可以表示成卷积的形式

由于我们处理的是文本而不是图像，因此我们需要一维视角

而用来表示这个“过滤器”的内核源自 SSM 公式

但怎么理解这个公式呢？一般的文章可能一带而过，但本文咱们还是通过一个例子一步一步理解

      1.与卷积一样，我们可以使用 SSM 内核来检查每组token并计算输出

      2.内核将移动一次以执行下一步的计算

      3.最后一步，我们可以看到内核的完整效果：

至于上图中的是咋计算得到的，别忘