数学建模_灰色关联分析和预测_2020_9_11_级比偏差

1：灰色关联度分析 GRA(Grey Relation Analysis )

灰色预测的概念：

白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的

黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系加以研究

灰色系统内部信息一部分是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系

灰色关联度分析

对系统进行因素分析，这些因素那些对系统是主要的，那些是次要的，那些需要发展，那些需要抑制。那些是潜在的，那些是明显的。因素间关联性如何，关联程度如何量化是系统分析的关键。

灰色关联度分析的步骤

第一步：确定分析数列。

参考数列(母序列):反映系统行为特征数据序列

Y = Y(k)   k=1,2...n

比较数列(子序列): 影响系统行为的因素组成的数据序列

 k=1,2,...n  i=1,2,...m

第二步，变量的无量纲化

由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。主要有下两种方法

初值化处理：   k=1,2,...n  i=1,2,...m

均值化处理：   k=1,2,...n  i=1,2,...m

第三步，计算关联系数：

 

其中 ρ为分辨系数，0<ρ<1。若ρ越小，关联系数间差异越大，区分能力越强。通常ρ取0.5

第四步，计算关联度

第五步，排序

按照  大小排序，确定那个因素更重要

例子：应用场景

某地区国内生产总值的统计数据（以百万元计），问该地区从2000年到2005年之间哪一种产业对GDP总量影响最大。

第一步：参考序列和对比序列确定

        参考序列：GDP      对比序列：第一，二，三产业

第二步： 变量的无量纲化

选择均值化：

3：计算灰色关联系数

计算：   

 

求最值：

max max  = 0.031027

min min = 0.000105

取ρ = 0.5： 计算 

 

4: 计算 

         = 0.508432  = 0.624296   =0.7573

可以看出该地区对GDP的影响：第三产业>第二产业>第一产业:

第二个实例：

wine数据集:意大利同一地区生产的三种不同品种的酒，这些数据包括了三种酒中13种不同成分。分析13种成分之间联系？

# -*- coding: utf-8 -*-# @Time : 2020/9/9 16:16# @Author : wangboyang# @Site : # @File : WinGreForest_2020_9-9.py# @Software: PyCharm# @Function : # 灰色关联结果矩阵可视化import pandas as pdimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snsfrom sklearn.datasets import  load_winewine = load_wine()data = wine.data  #数据lables = wine.target  #标签feaures = wine.feature_namesdf = pd.DataFrame(data,columns=feaures) #原始数据#第一步：无量纲化def standareData(df):    """    df : 原始数据    return : data 标准化的数据    """    data =pd.DataFrame(index=df.index)  #列名，一个新的dataframe    columns = df.columns.tolist()    # 将列名提取出来    for col in columns:        d = df[col]        max = d.max()        min = d.min()        mean = d.mean()        data[col] = ((d-mean) /(max -min)).tolist()    return data#  某一列当做参照序列，其他为对比序列def graOne(Data,m=0):    """    return:    """    columns = Data.columns.tolist()  # 将列名提取出来    #第一步：无量纲化    data = standareData(Data)    referenceSeq  = data.iloc[:,m]  #参考序列    data.drop(columns[m],axis=1,inplace=True) # 删除参考列    compareSeq = data.iloc[:,0:]  #对比序列    row,col = compareSeq.shape    #第二步：参考序列 - 对比序列    data_sub = np.zeros([row,col])    for i in range(col):        for j in range(row):            data_sub[j,i] = abs(referenceSeq[j]-compareSeq.iloc[j,i])    #找出最大值和最小值    maxVal = np.max(data_sub)    minVal = np.min(data_sub)    cisi = np.zeros([row,col])    for i  in range(row):        for j in range(col):            cisi[i,j] = (minVal+0.5*maxVal) /(data_sub[i,j]+0.5*maxVal)    #第三步：计算关联度    result = [np.mean(cisi[:,i]) for i in range(col)]    result.insert(m,1) #参照列为1    return pd.DataFrame(result)def GRA(Data):    df = Data.copy()    columns = [str(s) for s in df.columns if s not in [None]] #[1 2 ,,,12]    #print(columns)    df_local = pd.DataFrame(columns=columns)    df.columns =columns    for i in range(len(df.columns)): #每一列都做参照序列，求关联系数        df_local.iloc[:,i] = graOne(df,m=i)[0]    df_local.index = columns    return df_local #热力图展示def ShowGRAHeatMap(DataFrame):    colormap = plt.cm.hsv    ylabels = DataFrame.columns.values.tolist()    f, ax = plt.subplots(figsize=(15, 15))    ax.set_title('Wine GRA')    # 设置展示一半，如果不需要注释掉mask即可    mask = np.zeros_like(DataFrame)    mask[np.triu_indices_from(mask)] = True # np.triu_indices 上三角矩阵        with sns.axes_style("white"):        sns.heatmap(DataFrame,                    cmap="YlGnBu",                    annot=True,                    mask=mask,                    )    plt.show()data_wine_gra = GRA(df)ShowGRAHeatMap(data_wine_gra)

 

2：灰色预测

四种常见类型：

灰色时间序列预测

畸变预测

系统预测

拓扑预测

灰色生成数列：

为了挖掘数据中蕴含的内在规律，灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律。即为灰色序列的生成，一切灰色序列都能某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成的常用方式有累加生成，累减生成，加权累加生成等。

灰色预测是以灰色模型为基础的，其中所建立的微分方程模型有很多种比如说GM（2,1），GM(1,1)等。

 

GM(1,1)

原始数据列：

 

  n个数据个数

模型构建前检验:

当    时，可以GM(1,1)建模

 

数据预处理

原始数据累加以便弱化随机序列的波动性和随机性。

令：

得到新数据序列：

建立微分方：

其中a称为发展系数，b 灰色作用量，为待定系数

记： 

，所以确定 a,b,就可以求出，从而求出

 

确定参数：

最小二乘法求解参数：

将灰参数带入      推出：

于是得到预测值：

从而相应得到预测值：

模型检验：

残差检验：计算相对残差

求级比：

级比偏差值检验：

 

例子： 某地区国内生产总值的统计数据（以百万元计），问该地区从2000年到2005年之间哪一种产业对GDP总量影响最大。 预测5年后GDP的变化趋势！

clear ;syms a b ;c = [a b]' ;%原始数据GDP = [1988 2061 2335 2750 3356 3806]; X1 = cumsum(GDP) ;%  原始数据累加n = length(GDP) ;for i=1:(n-1)    B_t(i) = (X1(i)+X1(i+1)) /2 ; %平均end%计算待定参数 a,bA = GDP ;A(1) = [] ;% 注意从2开始A = A'    ; %列向量B=[-B_t ;ones(1,n-1)] ; %构造矩阵u = inv(B*B')*B*A ;  %求解参数u = u' ;a = u(1) ;b = u(2) ;%根据a,b 预测5年以后GDP趋势F = [] ;  F(1) = GDP(1) ;for i=2:(n+5)    F(i) = (GDP(1)-b/a)/exp(a*(i-1)) + b/a ;end F0 = [] ;F0(1) = GDP(1) ;for i=2:(n+5)    F0(i) =F(i) -F(i-1);endt1=2000:2005;t2=2000:2005+5;plot(t1,GDP,'o',t2,F0)  %原始数据与预测数据的比较legend('原始数据','预测数据','Location','NorthWest');xlabel('年份')ylabel('利润')

 

Reference：

[1]:https://www.zhihu.com/searchtype=content&q=%E7%81%B0%E8%89%B2%E9%A2%84%E6%B5%8B

[2]: https://blog.csdn.net/FontThrone/article/details/80607794