线性代数笔记2--矩阵消元

0. 简介

矩阵消元

1. 消元过程

实例方程组
{ x + 2 y + z = 2 3 x + 8 y + z = 12 4 y + z = 2

$$\begin{cases} x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2 \end{cases}$$ ⎩ ⎨ ⎧​x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2​
矩阵化
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right] \\ X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right] \end{gathered}$$
$$B=\left[\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right]$$
消元

[ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] ⟶ ( 2 , 1 ) [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] ⟶ ( 3 , 2 ) [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ]

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}$$ \stackrel{(2,1)}{\longrightarrow} $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}$$ \stackrel{(3,2)}\longrightarrow $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$ ​130​284​111​ ​⟶(2,1)​ ​100​224​1−21​ ​⟶(3,2)​ ​100​220​1−25​ ​
回代
$$\left[\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right]\stackrel{ro{w}_2-3ro{w}_1}{⟶}\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ 2\end{array}\right]\stackrel{ro{w}_3-2ro{w}_2}{⟶}\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ -10\end{array}\right]$$
求解
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ -10\end{array}\right]$$
结果
$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right]$$

2. 消元矩阵

将上述消元的过程变为矩阵相乘的形式。

向量式思考
矩阵乘列向量
[ . . . . . . . . . ] [   x y z ] = [ x ∗ c o l 1 + y ∗ c o l 2 + z ∗ c o l 3 ]

$$\begin{bmatrix} . & . & .\\ . & . & .\\ . & . & . \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}\ x \\ y\\ z \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} x*col1 +y*col2 +z*col3 \end{bmatrix}$$ ​...​...​...​ ​ ​ xyz​ ​=[x∗col1+y∗col2+z∗col3​]
行向量乘矩阵
$$\left[\begin{array}{c}xyz\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}.& .& .\\ .& .& .\\ .& .& .\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\ast row1\\ +\\ y\ast row2\\ +\\ z\ast row3\end{array}\right]$$
一个矩阵左边乘一个单位矩阵并不改变其值
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$$
而做行的加减则可以
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right] \\ {A}^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]= \\ \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
实际上这个过程就是，我们在之前的消元过程中的第二行减去三倍第一行的过程。我们继续下去将这个矩阵对角化。
$$\begin{gathered} A^{\prime \prime }=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]A^{\prime } \\ =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right] \end{gathered}$$

我们令最后的上三角矩阵为
U = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] U=

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$ U= ​100​220​1−25​ ​
两个变换矩阵为
$$\begin{gathered} E_{21}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \\ {E}_{32}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
则$$E_{32}(E_{21}A)=U$$
而矩阵乘法满足结合律证明即
$$E_{32}{E}_{21}A=E_{32}(E_{21}A)$$
所以最终消元的过程变成了寻找矩阵E的过程
$$E=E_{32}{E}_{21}$$
这一过程。

3. 置换矩阵

在上述的消元矩阵中，我们并没有进行列的交换。那么如何进行交换呢？

我们知道在原矩阵基础左边乘单位矩阵，矩阵不会发生变化。
A = [ 1 2 3 4 ] =   [ 1 0 0 1 ] [ 1 2 3 4 ] A=

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ =\ $$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ A=[13​24​]= [10​01​][13​24​]

如何交换两行呢，将单位矩阵变形
A ′ = [ 0 1 1 0 ] [ 1 2 3 4 ] = [ 3 4 1 2 ] A'=

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$ A′=[01​10​][13​24​]=[31​42​]
推广到多行
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

• 行变换
  交换第一行和第三行
  $$A^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$
  交换第一行和第二行
  $$A^{\prime \prime }=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

所以交换任意两行，只需将单位矩阵中对应行$1$的位置进行交换。

• 列变换

在矩阵左边乘是对原矩阵行变换，而在矩阵右边则是列变换
交换矩阵两列
A = [ 1 2 3 4 ] A ′ = [ 1 2 3 4 ] [ 0 1 1 0 ] = [ 2 1 4 3 ] A=

$$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ \\ A'= $$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{bmatrix}$$ A=[13​24​]A′=[13​24​][01​10​]=[24​13​]

交换多列也是一样的效果
交换第$1$第$2$列
A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] A ′ = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] = [ 2 1 3 5 4 6 8 7 9 ] A=

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\\ \end{bmatrix}$$ \\ A'= $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 5 & 4 & 6\\ 8 & 7 & 9\\ \end{bmatrix}$$ A= ​147​258​369​ ​A′= ​147​258​369​ ​ ​010​100​001​ ​= ​258​147​369​ ​

所以交换任意两列，只需将单位矩阵中对应行$1$的位置进行交换。
与行交换的不同地方在于，矩阵乘的在右边了。

4. 矩阵的逆

A = [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] A − 1 = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] A − 1 A = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] A=

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ \\ A^{-1}= $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$ \\ A^{-1}A= $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ A= ​1−30​010​001​ ​A−1= ​130​010​001​ ​A−1A= ​130​010​001​ ​ ​1−30​010​001​ ​= ​100​010​001​ ​