电力系统潮流计算的计算机算法（三）——牛顿-拉夫逊潮流算法

本篇为本科课程《电力系统稳态分析》的笔记。

本篇为这一章的第三篇笔记。上一篇传送门，下一篇传送门。

极坐标形式的牛顿-拉夫逊潮流算法

潮流方程式

一般选取平衡节点的电压相角为参考相角。

对于有n个节点的电力系统，设有一个平衡节点，m个PQ节点，n-m-1个PV节点。编号顺序为PQ节点、PV节点、平衡节点，即：

1. PQ节点的功率方程
   $$\begin{gathered} \Delta P_i=P_{Gi}-P_{Li}-U_i\sum _{j=1}^n{U}_j\left(G_{ij}\cos {\theta }_{ij}+B_{ij}\sin {\theta }_{ij}\right) \\ \Delta Q_i=Q_{Gi}-Q_{Li}-U_i\sum _{j=1}^n{U}_j\left(G_{ij}\sin {\theta }_{ij}-B_{ij}\cos {\theta }_{ij}\right) \\ (i=1,\cdots ,m) \end{gathered}$$
   其中，$P_i^{{}^{\prime }}=P_{Gi}-P_{Li},Q_i^{{}^{\prime }}=Q_{Gi}-Q_{Li}$是给定条件，而$U_i,{\theta }_i$为待求量。
2. PV节点的功率方程
   $$\begin{gathered} \Delta P_i=P_{Gi}-P_{Li}-U_i\sum _{j=1}^n{U}_j\left(G_{ij}\cos {\theta }_{ij}+B_{ij}\sin {\theta }_{ij}\right) \\ \Delta Q_i=Q_{Gi}-Q_{Li}-U_i\sum _{j=1}^n{U}_j\left(G_{ij}\sin {\theta }_{ij}-B_{ij}\cos {\theta }_{ij}\right) \\ (i=m+1,\cdots ,n-1) \end{gathered}$$
   其中，$P_i^{{}^{\prime }},U_i$是给定条件，而$Q_i^{{}^{\prime }},{\theta }_i$为待求量。
3. 平衡节点的功率方程
   $$\begin{gathered} \Delta P_n=P_{Gn}-P_{Ln}-U_n\sum _{j=1}^n{U}_j\left(G_{nj}\cos {\theta }_{nj}+B_{nj}\sin {\theta }_{nj}\right) \\ \Delta Q_n=Q_{Gn}-Q_{Ln}-U_n\sum _{j=1}^n{U}_j\left(G_{nj}\sin {\theta }_{nj}-B_{nj}\cos {\theta }_{nj}\right) \end{gathered}$$
   其中，$U_n,{\theta }_n$是给定条件，且${\theta }_n=0$，而$P_n^{{}^{\prime }},Q_n^{{}^{\prime }}$为待求量。

综合上面三类节点的功率方程，$\Delta P_i$的方程在PQ节点和PV节点存在，$\Delta Q_i$的方程在PQ节点存在，则实际需要求解的方程组为：
$$\begin{gathered} \Delta P_i=P_{Gi}-P_{Li}-U_i\sum _{j=1}^n{U}_j\left(G_{ij}\cos {\theta }_{ij}+B_{ij}\sin {\theta }_{ij}\right)(i=1,\cdots ,n-1) \\ \Delta Q_i=Q_{Gi}-Q_{Li}-U_i\sum _{j=1}^n{U}_j\left(G_{ij}\sin {\theta }_{ij}-B_{ij}\cos {\theta }_{ij}\right)(i=1,\cdots ,m) \end{gathered}$$

这里是一个n+m-1阶的适定非线性方程组，包括n-1个有功功率方程和m个无功功率方程。共计n+m-1个未知量，包括${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_{n-1}$和$U_1,U_2,\cdots ,U_{n-1}$，而且待求相角个数等于有功功率方程的个数，待求电压值的个数等于无功功率方程的个数。

修正方程式及其求解

将电压相角和电压有效值写成向量形式。
$$\begin{gathered} \mathbf{\theta }=[{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_{n-1}{]}^T \\ \mathbf{U}=[U_1,U_2,\cdots ,U_m{]}^T \end{gathered}$$

所以变量可以写为：
x = [ θ U ] \boldsymbol{x}=

$$\begin{bmatrix}\boldsymbol{\theta}\\\boldsymbol{U}\end{bmatrix}$$ x=[θU​]

有功功率和无功功率误差的求法：
$$\begin{gathered} \Delta P_i(\mathbf{x})=P_{Gi}-P_{Li}-U_i\sum _{j=1}^n{U}_j\left(G_{ij}\cos {\theta }_{ij}+B_{ij}\sin {\theta }_{ij}\right)=P_i^{{}^{\prime }}-P_i(\mathbf{x}) \\ \Delta Q_i(\mathbf{x})=Q_{Gi}-Q_{Li}-U_i\sum _{j=1}^n{U}_j\left(G_{ij}\sin {\theta }_{ij}-B_{ij}\cos {\theta }_{ij}\right)=Q_i^{{}^{\prime }}-Q_i(\mathbf{x}) \end{gathered}$$

然后写出修正方程，下面全部略去了表示迭代次数的上标k：
[ Δ P 1 ( x ) Δ P 2 ( x ) ⋮ Δ P n − 1 ( x ) Δ Q 1 ( x ) Δ Q 2 ( x ) ⋮ Δ Q m ( x ) ] = [ H 11 H 12 ⋯ H 1 , m − 1 N 11 N 12 ⋯ N 1 , m H 21 H 22 ⋯ H 2 , m − 1 N 21 N 22 ⋯ N 2 , m ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ H n − 1 , 1 H n − 1 , 2 ⋯ H n − 1 , m − 1 N n − 1 , 1 N n − 1 , 2 ⋯ N n − 1 , m M 11 M 12 ⋯ M 1 , m − 1 L 11 L 12 ⋯ L 1 , m M 21 M 22 ⋯ M 2 , m − 1 L 21 L 22 ⋯ L 2 , m ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ M m , 1 M m , 2 ⋯ M m , m − 1 L m , 1 L m , 2 ⋯ L m , m ] [ Δ θ 1 Δ θ 2 ⋮ Δ θ n − 1 Δ U 1 / U 1 Δ U 2 / U 2 ⋮ Δ U m / U m ]

$$\begin{bmatrix} \Delta P_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ \Delta P_{2}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ \vdots\\ \Delta P_{n-1}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ \Delta Q_{1}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ \Delta Q_{2}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ \vdots\\ \Delta Q_{m}\left(\boldsymbol{x}\right)\end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} H_{11}&H_{12}&\cdots&H_{1,m-1}&N_{11}&N_{12}&\cdots&N_{1,m}\\ H_{21}&H_{22}&\cdots&H_{2,m-1}&N_{21}&N_{22}&\cdots&N_{2,m}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots\\ H_{n-1,1}&H_{n-1,2}&\cdots&H_{n-1,m-1}&N_{n-1,1}&N_{n-1,2}&\cdots&N_{n-1,m}\\ M_{11}&M_{12}&\cdots&M_{1,m-1}&L_{11}&L_{12}&\cdots&L_{1,m}\\ M_{21}&M_{22}&\cdots&M_{2,m-1}&L_{21}&L_{22}&\cdots&L_{2,m}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ M_{m,1}&M_{m,2}&\cdots&M_{m,m-1}&L_{m,1}&L_{m,2}&\cdots&L_{m,m}\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \Delta\theta_{1}\\ \Delta\theta_{2}\\ \vdots\\ \Delta\theta_{n-1}\\ \Delta U_{1}/U_{1}\\ \Delta U_{2}/U_{2}\\ \vdots\\ \Delta U_{m}/U_{m}\end{bmatrix}$$ ​ΔP1​(x)ΔP2​(x)⋮ΔPn−1​(x)ΔQ1​(x)ΔQ2​(x)⋮ΔQm​(x)​ ​= ​H11​H21​⋮Hn−1,1​M11​M21​⋮Mm,1​​H12​H22​⋮Hn−1,2​M12​M22​⋮Mm,2​​⋯⋯⋮⋯⋯⋯⋯⋯​H1,m−1​H2,m−1​⋯Hn−1,m−1​M1,m−1​M2,m−1​⋮Mm,m−1​​N11​N21​⋮Nn−1,1​L11​L21​⋮Lm,1​​N12​N22​⋮Nn−1,2​L12​L22​⋮Lm,2​​⋯⋯⋮⋯⋯⋯⋯⋯​N1,m​N2,m​⋯Nn−1,m​L1,m​L2,m​⋮Lm,m​​ ​ ​Δθ1​Δθ2​⋮Δθn−1​ΔU1​/U1​ΔU2​/U2​⋮ΔUm​/Um​​ ​

矩阵中，使用的是$\Delta U_i/U_i$而不是$\Delta U_i$，只是为了让表达式在形式上保持一致。

雅可比矩阵各个非对角元素的计算为：
H i j = ∂ Δ P i ∂ θ j = − U i U j ( G i j sin ⁡ θ i j − B i j cos ⁡ θ i j ) N i j = ∂ Δ P i ∂ U j U j = − U i U j ( G i j cos ⁡ θ i j + B i j sin ⁡ θ i j ) M i j = ∂ Δ Q i ∂ θ j = U i U j ( G i j cos ⁡ θ i j + B i j sin ⁡ θ i j ) L i j = ∂ Δ Q i ∂ U j U j = − U i U j ( G i j sin ⁡ θ i j − B i j cos ⁡ θ i j )

$$\begin{gathered} H_{ij}=\frac{\partial\Delta P_{i}}{\partial\theta_{j}}=-U_{i}U_{j}\left(G_{ij}\sin\theta_{ij}-B_{ij}\cos\theta_{ij}\right) \\ N_{ij}=\frac{\partial\Delta P_{i}}{\partial U_{j}}U_{j}=-U_{i}U_{j}\left(G_{ij}\cos\theta_{ij}+B_{ij}\sin\theta_{ij}\right) \\ M_{ij}=\frac{\partial\Delta Q_{i}}{\partial\theta_{j}}=U_{i}U_{j}\left(G_{ij}\cos\theta_{ij}+B_{ij}\sin\theta_{ij}\right) \\ L_{ij}=\frac{\partial\Delta Q_{i}}{\partial U_{j}}U_{j}=-U_{i}U_{j}\left(G_{ij}\sin\theta_{ij}-B_{ij}\cos\theta_{ij}\right) \end{gathered}$$ Hij​=∂θj​∂ΔPi​​=−Ui​Uj​(Gij​sinθij​−Bij​cosθij​)Nij​=∂Uj​∂ΔPi​​Uj​=−Ui​Uj​(Gij​cosθij​+Bij​sinθij​)Mij​=∂θj​∂ΔQi​​=Ui​Uj​(Gij​cosθij​+Bij​sinθij​)Lij​=∂Uj​∂ΔQi​​Uj​=−Ui​Uj​(Gij​sinθij​−Bij​cosθij​)​

而且有以下的关系：
$$\begin{gathered} H_{ij}=L_{ij} \\ {N}_{ij}=-M_{ij} \end{gathered}$$

各个对角元素的计算为：
H i i = ∂ Δ P i ∂ θ i = U i ∑ j = 1 j ≠ i n U j ( G y sin ⁡ θ y − B y cos ⁡ θ y ) = U i 2 B i i + Q i ( x ) N i i = ∂ Δ P i ∂ U i U i = − U i ∑ j = 1 j ≠ i n U j ( G y cos ⁡ θ y + B y sin ⁡ θ y ) − 2 U i 2 G i i = − U i 2 G i i − P i ( x ) M i i = ∂ Δ Q i ∂ θ i = − U i ∑ j = 1 j ≠ i n U j ( G i j cos ⁡ θ i j + B i j sin ⁡ θ i j ) = U i 2 G i i − P i ( x ) L i i = ∂ Δ Q i ∂ U i U i = − U i ∑ j = 1 j ≠ i n U j ( G i j sin ⁡ θ i j − B i j cos ⁡ θ i j ) + 2 U i 2 B i i = U i 2 B i j − Q i ( x )

$$\begin{aligned} &H_{ii}=\frac{\partial\Delta P_{i}}{\partial\theta_{i}}=U_{i}\sum_{j=1\atop j\neq i}^nU_{j}\left(G_{y}\sin\theta_{y}-B_{y}\cos\theta_{y}\right)=U_{i}^{2}B_{ii}+Q_{i}\left(x\right)\\ &N_{ii}=\frac{\partial\Delta P_{i}}{\partial U_{i}}U_{i}=-U_{i}\sum_{j=1\atop j\neq i}^nU_{j}\left(G_{y}\cos\theta_{y}+B_{y}\sin\theta_{y}\right)-2U_{i}^{2}G_{ii}\\ &=-U_{i}^{2}G_{ii}-P_{i}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ &M_{ii}=\frac{\partial\Delta Q_{i}}{\partial\theta_{i}}=-U_{i}\sum_{j=1\atop j\neq i}^nU_{j}\left(G_{ij}\cos\theta_{ij}+B_{ij}\sin\theta_{ij}\right)=U_{i}^{2}G_{ii}-P_{i}\left(x\right)\\ &L_{ii}=\frac{\partial\Delta Q_{i}}{\partial U_{i}}U_{i}=-U_{i}\sum_{j=1\atop j\neq i}^nU_{j}\left(G_{ij}\sin\theta_{ij}-B_{ij}\cos\theta_{ij}\right)+2U_{i}^{2}B_{ii}\\ &=U_{i}^{2}B_{ij}-Q_{i}\left(\boldsymbol{x}\right) \end{aligned}$$ ​Hii​=∂θi​∂ΔPi​​=Ui​j=ij=1​∑n​Uj​(Gy​sinθy​−By​cosθy​)=Ui2​Bii​+Qi​(x)Nii​=∂Ui​∂ΔPi​​Ui​=−Ui​j=ij=1​∑n​Uj​(Gy​cosθy​+By​sinθy​)−2Ui2​Gii​=−Ui2​Gii​−Pi​(x)Mii​=∂θi​∂ΔQi​​=−Ui​j=ij=1​∑n​Uj​(Gij​cosθij​+Bij​sinθij​)=Ui2​Gii​−Pi​(x)Lii​=∂Ui​∂ΔQi​​Ui​=−Ui​j=ij=1​∑n​Uj​(Gij​sinθij​−Bij​cosθij​)+2Ui2​Bii​=Ui2​Bij​−Qi​(x)​

修正方程可以简写为：
[ Δ P ( k ) Δ Q ( k ) ] = − [ H ( k ) N ( k ) M ( k ) L ( k ) ] [ Δ θ ( k ) Δ U ~ ( k ) ] = − J ( k ) [ Δ θ ( k ) Δ U ~ ( k ) ]

$$\begin{bmatrix} \Delta \boldsymbol{P}^{(k)}\\ \Delta \boldsymbol{Q}^{(k)} \end{bmatrix}$$ =- $$\begin{bmatrix} \boldsymbol{H}^{(k)} & \boldsymbol{N}^{(k)}\\ \boldsymbol{M}^{(k)} & \boldsymbol{L}^{(k)} \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \Delta \boldsymbol{\theta}^{(k)}\\ \Delta \boldsymbol{\widetilde{U}}^{(k)} \end{bmatrix}$$ =-\boldsymbol{J}^{(k)} $$\begin{bmatrix} \Delta \boldsymbol{\theta}^{(k)}\\ \Delta \boldsymbol{\widetilde{U}}^{(k)} \end{bmatrix}$$ [ΔP(k)ΔQ(k)​]=−[H(k)M(k)​N(k)L(k)​][Δθ(k)ΔU (k)​]=−J(k)[Δθ(k)ΔU (k)​]

其中，

• $\Delta {\mathbf{\theta }}^{(k)}=[\Delta {\theta }_1^{(k)}\Delta {\theta }_2^{(k)}\cdots \Delta {\theta }_{n-1}^{(k)}{]}^T$，$\Delta {\tilde{\mathbf{U}}}^{(k)}=[\Delta U_1^{(k)}\Delta U_2^{(k)}\cdots \Delta U_{n-1}^{(k)}{]}^T$。
• 而雅可比矩阵${\mathbf{J}}^{(k)}$中的分块矩阵${\mathbf{H}}^{(k)},{\mathbf{N}}^{(k)},{\mathbf{M}}^{(k)},{\mathbf{L}}^{(k)}$是在未知量的取值为${\mathbf{\theta }}^{(k)},{\tilde{\mathbf{U}}}^{(k)}$时，带入上面元素的求取公式而得到的。修正方程已知雅可比矩阵和误差的矩阵，则可以求出来变量修正量矩阵，即$\Delta {\mathbf{\theta }}^{(k)},\Delta {\tilde{\mathbf{U}}}^{(k)}$，从而可以得出下一代的变量取值：
  $$\begin{gathered} {\theta }_i^{(k+1)}={\theta }_i^{(k)}+\Delta {\theta }_i^{(k)}(i=1,\cdots ,n-1) \\ {U}_i^{(k+1)}=U_i^{(k)}+\Delta U_i^{(k)}\times {\tilde{U}}_i^{(k)}(i=1,\cdots ,m) \end{gathered}$$

以上就是计算潮流的迭代格式，可见形成雅可比矩阵和求解修正方程式牛顿潮流计算中的主要步骤。

雅可比矩阵具有以下的特点：

1. 矩阵的阶数为n+m-1.
2. 如果互导纳$Y_{ij}=0$，那么其中的分块矩阵$\mathbf{H},\mathbf{N},\mathbf{M},\mathbf{L}$的相应元素也为零。所以雅可比矩阵是稀疏矩阵。
3. 矩阵的两个对角子矩阵$\mathbf{H},\mathbf{L}$是不对称的，因为：
   $$\frac{\partial \Delta P_i}{\partial {\theta }_j}\ne \frac{\partial \Delta P_j}{\partial {\theta }_i};\frac{\partial \Delta Q_i}{\partial U_j}\ne \frac{\partial \Delta Q_j}{\partial U_i}$$
4. 矩阵的各个元素都是节点电压的有效值和相角的函数，所以在整个迭代过程中，所有元素都会随着节点电压相量的逐次修正而不断变化。所以牛顿潮流计算中的雅可比矩阵要在每一次迭代进行计算。

牛顿潮流计算收敛判据一般为：
$$||\Delta {\mathbf{P}}^{(k)}|{|}_{\infty }=\underset{i}{\max }|\Delta P_i^{(k)}|⩽\epsilon 且||\Delta {\mathbf{Q}}^{(k)}|{|}_{\infty }=\underset{i}{\max }|\Delta Q_i^{(k)}|⩽\epsilon$$

初值的给定

一般取电压有效值为1，即相等于额定电压，电压相角为0。

牛顿法潮流计算的步骤

1. 输入系统的原始数据。
2. 形成节点导纳矩阵。
3. 给定功率误差的容许值$\epsilon$，给定平衡节点电压相角为0，是参考相角，然后给定节点电压有效值和相角初值：$U_i^0=1(i=1,\cdots ,m),{\theta }_i^0=1(i=1,\cdots ,n-1)$，将各个PQ节点电压有效值的初值组成相量${\mathbf{U}}^{(0)}$，各PQ节点和PV节点电压相角的初值组成向量${\mathbf{\theta }}^{(0)}$。
4. 设置迭代次数k=0。
5. 应用${\mathbf{\theta }}^{(k)},{\mathbf{U}}^{(k)}$，各个PV节点电压有效值和平衡节点电压有效值和相角，按照有功功率和无功功率的误差计算公式计算各个PQ、PV节点的有功功率误差$\Delta P_i^{(k)}$，还有各个PQ节点的无功功率误差$\Delta Q_i^{(k)}$，并组成功率误差向量$\Delta {\mathbf{P}}^{(k)},\Delta {\mathbf{Q}}^{(k)}$。
6. 按照收敛判据，判断迭代是否收敛。如果收敛，则转向第11步，否则进行下一步。
7. 应用${\mathbf{\theta }}^{(k)},{\mathbf{U}}^{(k)}$，计算出雅可比矩阵的各个元素，这样形成了修正方程中的雅可比矩阵${\mathbf{J}}^{(k)}$。
8. 根据求出来的雅可比矩阵${\mathbf{J}}^{(k)}$和第5步计算出来的误差向量$\Delta {\mathbf{P}}^{(k)},\Delta {\mathbf{Q}}^{(k)}$，按照修正方程式计算出$\Delta {\mathbf{\theta }}^{(k)},\Delta {\tilde{\mathbf{U}}}^{(k)}$。
9. 然后根据修正量$\Delta {\mathbf{\theta }}^{(k)},\Delta {\tilde{\mathbf{U}}}^{(k)}$，求出下一步的电压有效值和相角。
10. 令k=k+1，返回第5步进入下一轮的迭代。
11. 计算平衡节点发出的有功功率和无功功率，计算PV节点的无功功率等。

直角坐标形式的牛顿-拉夫逊潮流算法

仍然假设$1,2,\cdots ,m$是PQ节点，$m+1,\cdots ,n-1$是PV节点，n是平衡节点。

有功功率和无功功率的误差求法为
$$\begin{gathered} \Delta P_i=P_{Gi}-P_{Li}-e_i\sum _{j=1}^n\left(G_{ij}{e}_j-B_{ij}{f}_j\right)-f_i\sum _{j=1}^n\left(G_{ij}{f}_j+B_{ij}{e}_j\right)\left(i=1,2,\cdots ,n-1\right) \\ \Delta Q_i=Q_{Gi}-Q_{Li}-f_i\sum _{j=1}^n\left(G_{ij}{e}_j-B_{ij}{f}_j\right)+e_i\sum _{j=1}^n\left(G_{ij}{f}_j+B_{ij}{e}_j\right)\left(i=1,2,\cdots ,m\right) \\ \Delta U_i^2=U_S^2-\left(e_i^2+f_i^2\right)=0\left(i=m+1,m+2,\cdots ,n-1\right) \end{gathered}$$
其中，$U_{Si}$是PV节点i的电压给定值，平衡节点的电压$e_n=U_{Sn},f_n=0$

修正方程式为：
[ Δ P 1 Δ Q 1 ⋮ Δ P m Δ Q m ⋯ Δ P m + 1 Δ U m + 1 2 ⋮ Δ P m − 1 Δ U n − 1 2 ] = − [ H 1 , 1 N 1 , 1 ⋯ H 1 , m N 1 , m ⋮ H 1 , m + 1 N 1 , m + 1 ⋯ H 1 , m − 1 N 1 , m − 1 M 1 , 1 L 1 , 1 ⋯ M 1 , m L 1 , m ⋮ M 1 , m + 1 L 1 , m + 1 ⋯ M 1 , m − 1 L 1 , m − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ H m , 1 N m , 1 ⋯ H m , m N m , m ⋮ H m , m + 1 N m , m + 1 ⋯ H m , m + 1 N m , m + 1 M m , 1 L m , 1 ⋯ M m , m L m , m ⋮ M m , m + 1 L m , m + 1 ⋯ M m , m + 1 L m , m − 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ H m + 1 , 1 N m + 1 , 1 ⋯ H m + 1 , m N m + 1 , m ⋮ H m + 1 , m + 1 N m + 1 , m + 1 ⋯ H m + 1 , n − 1 N m + 1 , n − 1 R m + 1 , 1 S m + 1 , 1 ⋯ R m + 1 , m S m + 1 , m ⋮ R m + 1 , m + 1 S m + 1 , m + 1 ⋯ R m + 1 , n − 1 S m + 1 , n − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ H n − 1 , 1 N n − 1 , 1 ⋯ H n − 1 , m N n − 1 , m ⋮ H n − 1 , m + 1 N n − 1 , m + 1 ⋯ H n − 1 , n − 1 N n − 1 , n − 1 R n − 1 , 1 S n − 1 , 1 ⋯ R n − 1 , m S n − 1 , m ⋮ R n − 1 , m + 1 S n − 1 , m + 1 ⋯ R n − 1 , n − 1 S n − 1 , n − 1 ] [ Δ f 1 Δ e 1 ⋮ Δ f m Δ e m ⋯ Δ f m + 1 Δ e m + 1 ⋮ Δ f n − 1 Δ e n − 1 ]

$$\begin{bmatrix} \Delta P_{1}\\\Delta Q_{1}\\\vdots\\\Delta P_{m}\\\Delta Q_{m}\\\cdots\\\Delta P_{m+1}\\\Delta U_{m+1}^{2}\\\vdots\\\Delta P_{m-1}\\\Delta U_{n-1}^{2} \end{bmatrix}$$ = - $$\begin{bmatrix} H_{1,1}&N_{1,1}&\cdots&H_{1,m}&N_{1,m}&\vdots&H_{1,m+1}&N_{1,m+1}&\cdots&H_{1,m-1}&N_{1,m-1}\\ M_{1,1}&L_{1,1}&\cdots&M_{1,m}&L_{1,m}&\vdots&M_{1,m+1}&L_{1,m+1}&\cdots&M_{1,m-1}&L_{1,m-1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ H_{m,1}&N_{m,1}&\cdots&H_{m,m}&N_{m,m}&\vdots&H_{m,m+1}&N_{m,m+1}&\cdots&H_{m,m+1}&N_{m,m+1}\\ M_{m,1}&L_{m,1}&\cdots&M_{m,m}&L_{m,m}&\vdots&M_{m,m+1}&L_{m,m+1}&\cdots&M_{m,m+1}&L_{m,m-1}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\vdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ H_{m+1,1}&N_{m+1,1}&\cdots&H_{m+1,m}&N_{m+1,m}&\vdots&H_{m+1,m+1}&N_{m+1,m+1}&\cdots&H_{m+1,n-1}&N_{m+1,n-1}\\ R_{m+1,1}&S_{m+1,1}&\cdots&R_{m+1,m}&S_{m+1,m}&\vdots&R_{m+1,m+1}&S_{m+1,m+1}&\cdots&R_{m+1,n-1}&S_{m+1,n-1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ H_{n-1,1}&N_{n-1,1}&\cdots&H_{n-1,m}&N_{n-1,m}&\vdots&H_{n-1,m+1}&N_{n-1,m+1}&\cdots&H_{n-1,n-1}&N_{n-1,n-1}\\ R_{n-1,1}&S_{n-1,1}&\cdots&R_{n-1,m}&S_{n-1,m}&\vdots&R_{n-1,m+1}&S_{n-1,m+1}&\cdots&R_{n-1,n-1}&S_{n-1,n-1}\\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \Delta f_{1}\\\Delta e_{1}\\\vdots\\\Delta f_{m}\\\Delta e_{m}\\\cdots\\\Delta f_{m+1}\\\Delta e_{m+1}\\\vdots\\\Delta f_{n-1}\\\Delta e_{n-1} \end{bmatrix}$$ ​ΔP1​ΔQ1​⋮ΔPm​ΔQm​⋯ΔPm+1​ΔUm+12​⋮ΔPm−1​ΔUn−12​​ ​=− ​H1,1​M1,1​⋮Hm,1​Mm,1​⋯Hm+1,1​Rm+1,1​⋮Hn−1,1​Rn−1,1​​N1,1​L1,1​⋮Nm,1​Lm,1​⋯Nm+1,1​Sm+1,1​⋮Nn−1,1​Sn−1,1​​⋯⋯⋱⋯⋯⋯⋯⋯⋱⋯⋯​H1,m​M1,m​⋮Hm,m​Mm,m​⋯Hm+1,m​Rm+1,m​⋮Hn−1,m​Rn−1,m​​N1,m​L1,m​⋮Nm,m​Lm,m​⋯Nm+1,m​Sm+1,m​⋮Nn−1,m​Sn−1,m​​⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮​H1,m+1​M1,m+1​⋮Hm,m+1​Mm,m+1​⋯Hm+1,m+1​Rm+1,m+1​⋮Hn−1,m+1​Rn−1,m+1​​N1,m+1​L1,m+1​⋮Nm,m+1​Lm,m+1​⋯Nm+1,m+1​Sm+1,m+1​⋮Nn−1,m+1​Sn−1,m+1​​⋯⋯⋱⋯⋯⋯⋯⋯⋱⋯⋯​H1,m−1​M1,m−1​⋮Hm,m+1​Mm,m+1​⋯Hm+1,n−1​Rm+1,n−1​⋮Hn−1,n−1​Rn−1,n−1​​N1,m−1​L1,m−1​⋮Nm,m+1​Lm,m−1​⋯Nm+1,n−1​Sm+1,n−1​⋮Nn−1,n−1​Sn−1,n−1​​ ​ ​Δf1​Δe1​⋮Δfm​Δem​⋯Δfm+1​Δem+1​⋮Δfn−1​Δen−1​​ ​

其中，非对角元素$(i\ne j)$计算方法为：
H i j = ∂ Δ P i ∂ f j = B i j e i − G i j f i N i j = ∂ Δ P i ∂ e j = − G i j e i − B i j f i M i j = ∂ Δ Q i ∂ f j = B i j f i + G i j e i = − N i j L i j = ∂ Δ Q i ∂ e j = − G i j f i + B i j e i = H i j R i j = ∂ Δ U i 2 ∂ f j = 0 S i j = ∂ Δ U i 2 ∂ e j = 0

$$\begin{aligned} &H_{ij}=\frac{\partial\Delta P_{i}}{\partial f_{j}}=B_{ij}e_{i}-G_{ij}f_{i}\quad N_{ij}=\frac{\partial\Delta P_{i}}{\partial e_{j}}=-G_{ij}e_{i}-B_{ij}f_{i}\\ &M_{ij}=\frac{\partial\Delta Q_{i}}{\partial f_{j}}=B_{ij}f_{i}+G_{ij}e_{i}=-N_{ij}\quad L_{ij}=\frac{\partial\Delta Q_{i}}{\partial e_{j}}=-G_{ij}f_{i}+B_{ij}e_{i}=H_{ij}\\ &R_{ij}=\frac{\partial\Delta U_{i}^{2}}{\partial f_{j}}=0\quad S_{ij}=\frac{\partial\Delta U_{i}^{2}}{\partial e_{j}}=0\end{aligned}$$ ​Hij​=∂fj​∂ΔPi​​=Bij​ei​−Gij​fi​Nij​=∂ej​∂ΔPi​​=−Gij​ei​−Bij​fi​Mij​=∂fj​∂ΔQi​​=Bij​fi​+Gij​ei​=−Nij​Lij​=∂ej​∂ΔQi​​=−Gij​fi​+Bij​ei​=Hij​Rij​=∂fj​∂ΔUi2​​=0Sij​=∂ej​∂ΔUi2​​=0​

对角元素$(i=j)$的计算方法：
$$\begin{gathered} H_{ii}=\frac{\partial \Delta P_i}{\partial f_i}=-\sum _{j=1}^n\left(G_{ij}{f}_j+B_{ij}{e}_j\right)-G_{ii}{f}_i+B_{ii}{e}_i \\ {N}_{ii}=\frac{\partial \Delta P_i}{\partial e_i}=-\sum _{j=1}^n\left(G_{ij}{e}_j-B_{ij}{f}_j\right)-G_{ii}{e}_i-B_{ii}{f}_i \\ {J}_{ii}=\frac{\partial \Delta Q_i}{\partial f_i}=-\sum _{j=1}^n\left(G_{ij}{e}_j-B_{ij}{f}_j\right)+G_{ii}{e}_i+B_{ii}{f}_i \\ {L}_{ii}=\frac{\partial \Delta Q_i}{\partial e_i}=\sum _{j=1}^n\left(G_{ij}{f}_j+B_{ij}{e}_j\right)-G_{ii}{f}_i+B_{ii}{e}_i \\ {R}_{ii}=\frac{\partial \Delta U_i^2}{\partial f_i}=-2f_i \\ {S}_{ii}=\frac{\partial \Delta U_i^2}{\partial e_i}=-2e_i \end{gathered}$$

将修正方程写成下面的缩写形式：
[ Δ P Δ Q Δ U 2 ] = − [ H N M L R S ] [ Δ f Δ e ] = − J [ Δ f Δ e ]

$$\begin{bmatrix} \Delta \boldsymbol{P}\\ \Delta \boldsymbol{Q}\\ \Delta \boldsymbol{U^2} \end{bmatrix}$$ =- $$\begin{bmatrix} \boldsymbol{H} & \boldsymbol{N}\\ \boldsymbol{M} & \boldsymbol{L}\\ \boldsymbol{R} & \boldsymbol{S} \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \Delta \boldsymbol{f}\\ \Delta \boldsymbol{e} \end{bmatrix}$$ =- \boldsymbol{J} $$\begin{bmatrix} \Delta \boldsymbol{f}\\ \Delta \boldsymbol{e} \end{bmatrix}$$ ​ΔPΔQΔU2​ ​=− ​HMR​NLS​ ​[ΔfΔe​]=−J[ΔfΔe​]