图形学学习笔记1：基础变换矩阵_转换矩阵

变换矩阵 (Transformation Marices) ，一切物体的缩放，旋转，位移，都可以通过变换矩阵作用得到，在光栅化中会用到，同时在投影 (projection) 变换也有很多应用

将如下图所示的简单矩阵乘法定义为对向量的线性变换。

最简单的缩放变换，如图，即除了(0,0)不变之外都乘以某个系数

矩阵形式：

反射操作：（即关于y轴翻转）

切变(shearing)：

把物体一边固定，然后拉另外一边，如图

分别对应"拉伸"x轴，和"拉伸"y轴

（变换通用方法：找对应点分析坐标的转换形式）

旋转Rotate（默认以原点为中心，逆时针旋转）：重要的变换矩阵

同上，通过对应点坐标（1,0）(0,1)变换后关系可确定变换矩阵

补充：旋转角度-a和a其实是相反操作，因为旋转矩阵的逆矩阵等于他的转置 是正交矩阵

总结：

变换总能写成相同维度矩阵乘向量形式，如果能写成，就叫他线性变换

为什么强调相同维度？

如图，平移变换比较特殊，无法矩阵化，不是线性变换，只能写成以下形式：

为了不搞特殊，统一所有变换到一块用一种方法表示，引入齐次坐标：

（简单来说就是为了能用矩阵乘向量统一表示所有变换，多加一维）

注：最后一维为1，表示点(point), 为0表示方向(direction)

现在我们就可以用一个矩阵既表示线性变换(先)，又表示位移(后)

为什么是1，0？为了保持向量的平移不变性，任何一个点都写成(x,y,1)，任何一个向量都写成(x,y,0)

如下图所示，这种设置还有更多的考虑，齐次坐标系下：

向量加向量还是向量，点减去点是向量，点加向量得到一个新的点，点加上点是这两个点的中点，如图

引入齐次坐标后所有的仿射变换（一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移）都可以写成齐次坐标的形式：

同理，其他变换的齐次坐标系形式：

逆变换：M-1

变换回原来的形状，即逆变换，数学上就是乘以对应变换的逆矩阵

（这也是用矩阵乘法表示变换的优点之一，可以方便地描述逆变换）

复杂变换可以通过一系列简单变换得到，变换的顺序很重要（因为矩阵乘法没有交换律，先旋转后平移和先平移后旋转得到的结果不一样）

如图，注意是从右往左计算，如果应用太多矩阵可以写作以下形式（结合律的应用），即一个矩阵可以表示多次的复杂变换经过

同理变换不仅能合成也能分解（从右到左）：围着任意轴旋转可以如图考虑

三维变换

如图，同理用二维做类比，向量(x,y,z,w)实质上是表示在空间中坐标为(x/w,y/w,z/w)的点

注意这样是先变换再平移

如图，类似二维，如果W不为0，则默认(x,y,z,w)表示的是三维空间中坐标为(x/w,y/w,z/w)的点

齐次坐标系下的三维变换：

平移和缩放：

旋转（较为复杂）关于某个坐标轴变换：（关于的轴对应坐标不用变化，“绕谁谁不变”，其余两个轴对应坐标参考二维旋转）

注意绕y时相反，因为此时根据右手螺旋定则是z叉乘x，而旋转矩阵的行列式对应关系是x向z转的，需要反一下

类似二维，任意旋转都是正交矩阵，因此他们的逆是他们的转置，如逆时针转30°，转置就是顺时针30°

以上都是绕单独坐标轴旋转，而任意一个3D旋转都可以写成分别绕XYZ轴旋转操作的组合：

其中αβγ角又被称为欧拉角 例：roll滚转（机身左右旋转） pitch俯仰（上下抬头） yaw偏航（平行的左右）

由此引出了罗德里格斯Rodrigues旋转公式：图形学中

α为旋转角  I为单位矩阵 n为环绕的某个轴的方向，即一个旋转向量(nx,ny,nz)（此时默认起点是过原点的轴）N为由n得到的一个反对称矩阵

R即为某个向量V以n方向为轴旋转α度后得到的向量Vrot要经过的旋转矩阵 即Vrot=RV，旋转前的向量坐标乘以R等于旋转后的向量坐标

如果要沿着任意轴，需要先将轴平移，以过原点的为轴再旋转，再整体平移回去

四元数：引入更多是为了计算旋转与旋转之间的差值，因为用矩阵表示旋转不方便计算，机器人学中用的比较多

四元数可以很方便地表示旋转变换。但在很多场合中，使用矩阵形式和向量形式表达旋转更有利于推导，因此这里不再赘述

另注：罗德里格斯公式推导的个人理解

该公式有多种推导方法，我观看的视频讲解如图，向量V绕k旋转θ角得到的向量Vrot

我们需要推导的就是这两个之间的关系，即经过的变换矩阵

那么首先由平行四边形法则可得，原向量V可以看作是分别在旋转轴k方向的分向量V∥和垂直于k轴的方向上的分向量V⊥之和

同理旋转后得到的向量Vrot也可以是V∥和垂直于k轴的方向上的分向量Vrot⊥之和，我们就从这点出发来找关系：

由向量点乘公式可得，用原向量V和单位向量k点乘来表示V在k方向上的投影长度，再乘以k的方向就可以表示V∥

由平行四边形法则可得，V⊥=V-V∥，又由叉乘的定义可得V⊥=-kx(kxv)，即与v和k都垂直的单位向量c再叉乘-k得到与-k和c都垂直的向量V⊥

同理，Vrot⊥是通过正交分解求的，Vrot⊥在旋转的过程中长度不变（始终等于V⊥），因此V⊥的模乘以cosθ就是Vrot⊥在红色面上的投影长度，再把这个长度乘以V⊥方向的单位向量（b）就是Vrot⊥在红色面上的分量【同理也可以是（|b| = cos（PI -θ ) |V⊥| = （- cosθ）|V⊥|），再乘以V⊥相反方向】，同理相似的另外一个分量就乘以sinθ，两个分量相加就是Vrot⊥

之后经过代换简化就可得到罗德里格斯公式。