games101学习笔记_Geometry2(Curves and Surfaces)_games101 parametric curve

主要内容

• 显式表现(Explicit Representations)
• 曲线(Curces)
  • Bezier curves
  • De Casteljau’s algorithm
  • B-splines,etc.
• 表面(Surfaces)
  • Bezier surfaces
  • Triangles & quads
    • subdivision,simplification,regularization

显式几何(Explicit Representations)

点云(Point Cloud(Explicit))

最简单的表现方式:一连串的点(x,y,z).
点云是最简单的一种方法，点云是将每一个点就当作一个点，并不像三角形那样把点链接起来，而是只是单纯的用大量的点来形成面。当点十分密集时，每个点和点之间都是相邻并且十分接近，密集的点就能形成一个面。如下所示：

• 能够十分简单的表示任何几何形体
• 对于大量数据的点集合很有用
• 通常被转换为多边形的面
• 在采样不足的区域很难绘制出图形，如雕塑下面

多边形网格(Polygon Mesh(Expicit))

• 在图形学中最广泛应用的一种显示方法。
• 存储顶点和面的信息(面通常是三角形或者矩形)。
• 更容易处理、模拟和采样。
• 这种方法使用的数据结构更加复杂。

存储几何体的文件 .obj文件

一般用.obj文件来存储一个模型，如果使用blender建模然后导出就可以得到一个.obj文件，文件的内容如下：
把空间中的一堆点，法线和纹理坐标在文件中分开表示，并且也在文件中表示了他们之间的关系。

• 左图上面的v，表示的是空间中的立方体坐标，即每个顶点的(x，y，z)的坐标。一个立方体有八个点，所以有八行数据。
• 右图上面的vn，表示的是立方体有八个顶点六个面，每个面都有一个法向量，一共六种不同的法线。有八行的原因是因为自动的建模有可能会产生冗余的地方，比如29行和30行其实是一样的。
• 左图下面的vt，表示的是12个纹理坐标，当然里面也有冗余。每个面都要定义一个四个点不同的纹理坐标(最多24个纹理坐标，中间可能有公用的，不需要那么多)。
• 右图下方的f(face)，表示的是点之间的连接关系，顺序是[f v1/vt1/vn v2/vt2/vn v3/vt3/vn]表示的是一个面由v1,v2,v3三个点组成，分别使用vt1,vt2,vt3三个纹理坐标，使用vn法线。
  
  简化解释就是：
• v代表几何体的每个顶点的位置信息
• vt代表纹理坐标
• vn代表顶点对应的法向量
• f代表将三角形连接成顶点的索引顺序。
• f代表的是：顶点号/纹理号/法向量号。

如第一行f表示，将第5个，第1个和第4个顶点连接成三角形。

曲线(Curves)

Maya中的曲线应用

字体中的曲线应用

贝塞尔曲线(Bezier Curves)

使用一系列的控制点，去定义某个曲线：

然后这些控制点会去满足这个曲线的某些性质，比如说：

p0,p1,p2,p3为控制点，其中p0,p3为起点和终点。定义一个曲线的条件：

• 知道起点p0和终点p3
• 起点和终点的切线方向分别在p0、p1和p2、p3上
  

有以上两个条件，就可以定义一个控制方向。即控制点+属性就可以定义一条曲线。

但这不意味着曲线一定要经过我们的控制点，只要经过起始点和终止点就可以。

画贝塞尔曲线(直观表达形式)

给出一系列任意多的控制点，怎么画出一条贝塞尔曲线?

比如说目前只有三个点，两条线段：

1. 先考虑只有三个顶点两条线段的情况下如何画一条曲线：
   
   首先这条线一定要从b0开始，到b2结束。b1决定了整条线要向哪个方向弯曲。

2. 给定一个时间t，从0开始到1结束。在这里我们用图下方的线段表示出来。
   

   • 三个输入的点b0、b1、b2确定了两条线段b0b1、b1b2
   • 在b0b1上认为，b0是0，b1是1
   • 那么在b0b1线段上，找一个点t(t=1/3)，这个点记为b10。

3. 同样的，在b1b2上:
   

   • 认为b1是0，b2是1
   • 也找这样一个点t=1/3，这个点记为b11。

到此我们通过三个点b0、b1、b2得到了两个点b10、b11。

4. 把刚刚得到的两个点b10、b11连起来
   

   • 再认为线段b10b11又是从0到1，b10是0，b11是1
   • 再取同样的t=1/3，这时我们找到了1个点b20

b20这个点即为由b0、b1、b2三点确定的一条贝塞尔曲线在时间t=1/3上的点。

5. t的取值从0到1，每取一个值都重复上述步骤，然后得到了一系列点，将所有的点连起来就得到了一条贝塞尔曲线。
   

再比如说目前有四个点，三条线段：

根据上面三个点，两条线段的例子，可以推出一下过程：

1. 找出相对于三条线段，t(t=0.5)点的位置，如下图所示：
   
   可以得到b10,b11,b12三个点。

2. 然后将这三个点连起来，这样又得到两条线段，然后又在这两条线段上取t点，得到两个点b20、b21：
   
   

3. 再由上面得到的两个点连成一条线段，然后取点t，得到点b30:
   
   

4. 连接线段。 t的取值从0到1，每取一个值都重复上述步骤，然后得到了一系列点，将所有的点连起来就得到了一条贝塞尔曲线。将其连接起来就会得到最后的贝塞尔曲线。
   
   
   动画绘制，回视频观看的话在1：02：20。
   

画贝塞尔曲线(代数表达形式)

最后会得到下图的关系式，算数式使用的是 线性插值 计算方法(线性插值知识博客):

将上面三个式子融合就可以得到下面这个式子：

b0、b1、b2前的系数可以看成是1的平方的展开，1的平方可以写成{(1-t)+t}²，展开后也就是上面的系数了。

总结规律后可以得到下面这个关系式：
给 n+1 个控制点(分别是0，1，2…，n)，可以得到一个n阶的贝塞尔曲线，这个贝塞尔曲线在任意时间t都是给定的控制点的线性组合，而组合的系数就是一个多项式（伯恩斯坦多项式）：

伯恩斯坦多项式是跟时间有关的一个多项式：

i对应从0到n（竖着的n i应该是组合数，对应排列组合中的C（n，i））

最后简化一下，不考虑有多少层了，任意阶数的贝塞尔曲线，任意时间t的点的位置就由伯恩斯坦多项式作为系数对给定的控制点的加权。

例：不用将控制点限制在平面内，在空间中仍然可以得到一个贝塞尔曲线，只要将不同的控制点输入成三维坐标，同样用伯恩斯坦多项式对其插值

因为伯恩斯坦多项式相当于对1自己的n阶展开，所以这个多项式：

• 如下图，三阶，有四个不同的多项式，分别对应i等于0、1、2、3
• 在同一阶上把相同时间t的几个多项式的值加起来肯定等于1
  

贝塞尔曲线的性质(Properties of Bezier Curves)

1. 贝塞尔曲线规定了必须过起点和终点，所以在t=0时在起点，t=1时在终点
   

2. 特别的，对于4个控制点，起始的切线一定是3(b1-b0)，结束的切线为3(b3-b2)。在这里的三倍是根据我们这个举例有4个控制点来的，如果有其他不同的控制点，这里需要变化。
   

3. 求贝塞尔曲线两种不同的方式，但结果一样。

   • 可以直接对不同的顶点做仿射变换，再重新对变换之后的顶点画一条贝塞尔曲线。
   • 直接对原始的控制点做贝塞尔曲线，然后根据这条贝塞尔曲线的每一个点做仿射变换。
   • 上面两个方式得出的贝塞尔曲线是一模一样的。
   • 注意，比如某个平面有一条贝塞尔曲线在投影后，对投影后的贝塞尔曲线做仿射变换。那么这两条贝塞尔曲线就不是同一条了
     

4. 凸包性质(Convex hull property)
   画出来的贝塞尔曲线一定得在所有控制点形成的凸包内。

   • 凸包：能够包围一系列给定的几何形体的最小的凸多边形。
   • 更直观来讲，如下图，在一个板子上打好多钉子，用一个橡皮筋拉大包住所有钉子后放手，让橡皮筋自然收缩，被卡住的一圈钉子组成的多边形即为凸包。也就是，任何一个贝塞尔曲线在被画出来之后，这个贝塞尔曲线上的任何一个点，在任何时间t里，一定都在这几个给定的控制点形成的凸包范围内。
     

逐段的贝塞尔曲线(Piecewise Bezier Curves)

为什么要逐段考虑？
当碰到下面这种高阶贝塞尔曲线时：

• n=10，也就是给了11个点，得到上面蓝色的曲线，虽然没有问题，但并不直观，在中间部分变成很平缓的线了。
• 所以这条曲线不好控制，不利于用中间的控制点得到你想要的形状。
• 所以需要分段进行考虑。

一般每四个控制点控制一条贝塞尔曲线，也就是Piecewise cubic Bézier

如下图，是由不同的贝塞尔曲线连接的，可以看发生剧烈拐弯处的点，显然不是通过原始的点求出来的贝塞尔曲线。而每一段贝塞尔曲线由四个点控制，如第一条由曲线起始点、下面蓝色线段的左端点、上面蓝色线段的左右端点

下图就分段贝塞尔曲线的例子，黑色的点和蓝色的方块都是某一条贝塞尔曲线的控制点。

分段贝塞尔曲线的连续性

分段贝塞尔的连续性有两种，分别是:

• C0连续。即上一段曲线的终点是下一段曲线的起点，仅仅满足这种物理上的连续，并不管这两段相连的地方会形成多大的锐角，只要他们两段挨在一块。
  

• C1连续。C1连续是在满足C0连续的条件外，还要满足在连接点的两端切线的方向相同，切长度相等。如下面红线所示，中间点为终点，左右两个点分别为两段曲线的控制点。
  

• C0连续是两个函数在值上连续，C1连续是导数连续，C2连续是二阶导数连续。

其他类型的曲线

样条曲线（Spline）

定义：一个连续的曲线是由一系列的控制点控制的，并能够满足一定的连续性。简单来说就是一个可控的曲线

早期人们通过提前固定好点，然后使用树枝穿过这些点，从而得到自然弯曲的曲，如上图所示。

B样条(B-Splines)

是basis splines的缩写，就是基函数样条。
基函数: 可以理解成用伯恩斯坦多项式在时间t对几个控制点做加权平均，也可以理解为用控制点的位置对伯恩斯坦多项式进行加权求和。那伯恩斯坦多项式就是可以理解成一个基函数，就相当于由不同的函数通过不同的方式组合起来形成别的函数，这个函数就叫基函数。

B样条: 是贝塞尔曲线的扩展，能力要更强（像之前n=10的情况下，我动一个点，整个一条曲线在任何位置都会发生变化，而这在设计上并不是一个很好的性质，当我们觉得这条曲线其他的地方都很好，就想改一个点，如果贝塞尔曲线就要动所有的点，很不方便），具有局部性（我改变一个点，我知道这个控制点至多影响到这条曲线的哪些范围内）。同样对于局部性，分段贝塞尔也可以实现。

如果想更加深入了解B样条可以看下面的内容。

曲面(Surfaces)

贝塞尔曲面(Bezier Surfaces)

将曲线扩展到曲面。

通过贝塞尔曲线得到贝塞尔曲面(概念实现)

下图可以理解为一个曲面，有一种力将它拉了上去。但其实下图是通过16(4x4)个控制点得到的。

相当于双线性插值的理解，在两个方向上分别应用贝塞尔曲线

具体表示为以下过程：
首先，我们在平面上定义4x4个点：

我们认为他有4行，每一行用四个控制点得到一条曲线

每一条曲线在不同时间t上，会在不同的位置上，我们先将其相连成一条线，在所有时间t上重复这个过程，可以绘制出一个面。



然后这个线在不同时间t来不断扫空间的过程中会得到一个曲面。也可以任意的改变贝塞尔曲面控制点的位置

图表表示过程：

通过上面那个方式我们可以得到非常复杂的曲面。

贝塞尔曲面计算方法

要找到贝塞尔曲面上任何一个点，通过上面的过程看，是需要两个不同的时间t（在水平方向上找同一个时间t，找到4个点后，这4个点要连成一条曲线，还需要一个时间t），所以需要一个二维的控制，我们管它叫uv。

完全可以找到某一个u沿着得到的4条曲线上，找到时间u在哪，这样可以得到4个蓝色的点，再给任何一个时间v，在这4个蓝色的点形成的曲线上找时间v，就找到了最后的点的位置（也就是曲面在uv参数下的位置）

这也说明了为什么贝塞尔曲线是显式的表示的，因为是通过参数uv映射过去的

网格操作：几何处理（Mesh Operations: Geometry Processing）

1. Mesh subdivision（网格细分）
   用更多的三角形得到更光滑的表面（见下图牛2到牛3）
2. Mesh simplification（网格简化）
   用更少的面可以节省很多存储（见下图牛3）
3. Mesh regularization（网格正规化）
   让三角形不至于出现特别尖特别长的情况，都变成一个和正三角形相似的比较规则的三角形（见下图牛5）